ζ(3) je hodnota Riemannovy zeta funkce v bodě 3: součet 1/n³ přes všechna kladná celá čísla. Pro sudé vstupy našel Euler krásné uzavřené tvary: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Pro liché vstupy žádný takový vzorec neznáme. Není ani jasné, zda ζ(3) s π vůbec souvisí.
ζ(3) leží mezi dvěma hodnotami se známými uzavřenými tvary obsahujícími π. Zda ζ(3) také obsahuje π, je stále neznámé.
Roku 1978 Roger Apéry oznámil důkaz, že ζ(3) je iracionální. Posluchači byli skeptičtí. Henri Cohen a další matematici běželi domů a přes noc vše kontrolovali na počítačích. Druhý den ráno potvrdili, že důkaz je správný. „Bylo to jako hrom z čistého nebe,“ řekl jeden z účastníků. Apérymu bylo 64 let.
Parciální součty 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... se blíží k ζ(3) ≈ 1,20206 zespodu. Konvergence je pomalá: i při n=50 je součet ještě o 0,003 dál.
Otázka, zda lze ζ(3) vyjádřit pomocí π, zůstává velkým otevřeným problémem. Všechny sudé hodnoty zeta jsou racionálními násobky příslušné mocniny π. Liché hodnoty zeta jako by žily v jiném světě. O nekonečně mnoha lichých hodnotách ζ(2n+1) víme, že jsou iracionální (Rivoal, 2000), ale přesný vzorec zůstává záhadou. Plná hodnota: 1,20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = racionální číslo × π^(2k) pro všechna sudá k. Euler to dokázal pro všechny sudé hodnoty. Ale ζ(3), ζ(5), ζ(7)... jsou úplně jiné. ζ(3) je iracionální (Apéry), ale žádná vazba na π není známá. Může být skutečně na π nezávislá.
Tabulka ukazující hodnoty zeta v sudých celých číslech známé jako π-zlomky, zatímco liché hodnoty zůstávají neznámé
| Sudá s: přesné vzorce | Lichá s: záhada |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | iracionální (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | iracionální? neznámé |
| Vše = racionální × π^s | Žádná známá vazba na π |
Nevíme. Roger Apéry roku 1978 dokázal, že zeta(3) je iracionální, ale otázka, zda je transcendentní, zůstává otevřená. Obecně se věří, že transcendentní je, ale důkaz neexistuje.
V kvantové elektrodynamice (opravy magnetického momentu elektronu), v teorii náhodných matic a v entropii dvourozměrného Isingova modelu. Objevuje se také ve Fermiho–Diracově a Boseho–Einsteinově rozdělení ve statistické mechanice.
Ramanujan našel rychle konvergující řady pro zeta(3), včetně vzorce obsahujícího 7pi^3/180 a součtů přes exponenciály. Jeho zápisníky obsahovaly desítky identit souvisejících se zeta(3), z nichž většina byla dokázána až desítky let po jeho smrti.
Celá čísla A(n) = součet C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 přes k, která se objevují v Apéryho důkazu iracionality. Prvních několik je 1, 5, 73, 1445, 33001. Splňují rekurentní vztah a rostou tak, že jmenovatele parciálních součtů 1/n^3 ruší určité faktory, což činí limitu iracionální.
Apéryho konstanta zeta(3) je součet 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959. Pro sudé hodnoty s našel Euler uzavřené tvary obsahující pi: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Pro liché hodnoty žádný takový vzorec znám není. Roger Apéry dokázal roku 1978 ve věku 64 let, že zeta(3) je iracionální. Zda je transcendentní nebo vyjádřitelná pomocí pi, zůstává neznámé.