Basilejský problém se ptá: jaká je přesná hodnota 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯? Řada konverguje, ale k čemu? Píetro Mengoli jej formuloval roku 1650. Po 84 let mátl každého matematika, dokud jej Euler roku 1734 ve věku 28 let nevyřešil.
Parciální součty se k π²/6 ≈ 1,6449 blíží pomalu. Euler roku 1734 dokázal, že limita se rovná π²/6, a propojil tak analýzu s geometrií.
Eulerův důkaz rozložil Taylorovu řadu pro sin(x)/x jako nekonečný součin přes její kořeny ±π, ±2π, ±3π… Porovnání koeficientu u x² v součinovém tvaru s Taylorovým koeficientem dává přímo Σ 1/n² = π²/6. Je to jeden z nejslavnějších výpočtů v matematice a důvod, proč se zde objevuje π, není náhoda: kružnice a sféry mají přirozené vazby na součty přes celá čísla prostřednictvím Riemannovy zeta funkce.
Každý člen 1/n^2 rychle klesá. Jejich součet konverguje přesně k π^2/6 ~ 1,6449.
Výsledek se zobecňuje: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945 a všechny sudé hodnoty zeta jsou racionální násobky mocnin π. Liché hodnoty ζ(3), ζ(5), ζ(7)… jsou mnohem záhadnější. Apéry roku 1978 dokázal, že ζ(3) je iracionální, ale žádný uzavřený tvar v závislosti na π znám není.
Pravděpodobnost, že dvě náhodně zvolená celá čísla nemají žádný společný dělitel (jsou nesoudělná), je přesně 6/π^2, tedy převrácená hodnota π^2/6. To je přibližně 60,8 %. Basilejský problém to přímo propojuje s teorií čísel a pravděpodobností.