Komplexní číslo má dvě části: reálnou část a imaginární část. Imaginární jednotka i splňuje i² = -1. Každé reálné číslo je komplexním číslem s b = 0. Komplexní čísla vyplňují 2D rovinu místo 1D přímky, a díky tomu má každá polynomiální rovnice právě tolik kořenů, kolik je její stupeň.
Násobení číslem i je otočení o 90 stupňů proti směru hodinových ručiček. Násobení číslem i dvakrát (tedy i²) je otočení o 180 stupňů, které převede 1 na -1. i² = -1 tedy není algebraický trik, ale rotace.
Nad reálnými čísly nemá x²+1=0 řešení. Nad komplexními čísly má dvě: i a -i. Základní věta algebry říká: rozšiřte se na komplexní čísla a každý polynom stupně n bude mít přesně n kořenů.
Tabulka porovnávající polynomy nad reálnými a komplexními čísly a ukazující, že každý polynom stupně n má právě n komplexních kořenů
| POLYNOM | REÁLNÉ KOŘENY | KOMPLEXNÍ |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 reálných kořenů | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 reálný kořen | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 reálných kořenů | 4 |
| Každý polynom stupně n má právě n komplexních kořenů (počítáno s násobnostmi) |
Komplexní čísla rozšiřují reálnou osu na 2D rovinu zavedením i, kde i na druhou je -1. Každé komplexní číslo z = a + bi má reálnou část a, imaginární část b, modul |z| = sqrt(a na druhou + b na druhou) a argument arg(z) = atan(b/a). Násobení číslem e^(i*theta) představuje rotaci o theta radiánů. Základní věta algebry říká, že každý polynom stupně n má přesně n komplexních kořenů včetně násobností. Komplexní čísla tvoří základ kvantové mechaniky, zpracování signálů i Eulerovy identity.