Řetězový zlomek vyjadřuje číslo jako celé číslo plus převrácenou hodnotu dalšího řetězového zlomku. Každé reálné číslo má jednoznačný rozvoj do řetězového zlomku. Racionální čísla končí, kvadratické iracionality jsou periodické a obecná iracionální čísla mají nepravidelné členy. Konvergenty řetězového zlomku dávají nejlepší racionální aproximace s malými jmenovateli.
Tabulka porovnávající řetězové zlomky φ, √2, e a π a ukazující, které jsou periodické a které nepravidelné
| KONSTANTA | ZÁPIS ŘETĚZOVÉHO ZLOMKU | TYP |
|---|---|---|
| φ | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodický |
| √2 | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodický |
| √3 | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodický |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | vzor |
| π | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | bez vzoru |
| Věta: řetězový zlomek je periodický právě tehdy, když je číslo kvadratická iracionalita (Lagrange, 1770) | ||
| φ je „nejtěžší“ na aproximaci: jeho řetězový zlomek samých jedniček má nejpomalejší možnou konvergenci |
Tabulka konvergentů π ukazující stále přesnější racionální aproximace s malými jmenovateli
| KONVERGENT | DESETINNĚ | CHYBA |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 je správně na 6 desetinných míst s jmenovatelem o pouhých 3 cifrách |
Konvergenty 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 střídají hodnoty nad a pod π. Každý z nich je nejlepší racionální aproximací s daným nebo menším jmenovatelem.
Každé reálné číslo má jednoznačný rozvoj do řetězového zlomku. Racionální čísla mají konečné rozvoje. Kvadratické iracionality mají periodické rozvoje: φ = [1;1,1,1,…], √2 = [1;2,2,2,…]. Konvergenty dávají nejlepší racionální aproximace s malými jmenovateli. π má slavný rozvoj [3;7,15,1,292,…], který vysvětluje, proč je 355/113 tak dobrá aproximace. Lagrange roku 1770 dokázal, že periodické řetězové zlomky přesně odpovídají kvadratickým iracionalitám.