De Moivreova věta říká, že umocnění bodu na jednotkové kružnici na n-tou prostě vynásobí jeho úhel n. Začnete-li na úhlu θ a provedete operaci n-krát, skončíte na úhlu nθ. To je geometrické jádro aritmetiky komplexních čísel.
Začátek na úhlu θ=40° na jednotkové kružnici. Umocnění na druhou zdvojí úhel na 80° (zeleně). Umocnění na třetí ztrojnásobí úhel na 120° (červeně). Bod se jen otáčí: jeho vzdálenost od počátku zůstává 1.
Věta plyne okamžitě z Eulerova vzorce e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Umocníme-li obě strany na n-tou: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). De Moivre svůj výsledek formuloval roku 1707, tedy 41 let předtím, než Euler vzorec publikoval, takže důkaz působí spíš jako magie než jako mechanika.
Šesté odmocniny z jedničky tvoří pravidelný šestiúhelník na jednotkové kružnici. n-té odmocniny rovnice z^n = 1 vždy tvoří pravidelný n-úhelník, rovnoměrně rozmístěný na úhlech 2πk/n = τk/n.
De Moivreova věta je klíčovým nástrojem pro výpočet mocnin a odmocnin komplexních čísel, odvozování vzorců pro násobné úhly (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ) a hledání n stejně vzdálených n-tých odmocnin libovolného komplexního čísla. Spojuje algebru komplexních čísel s geometrií rotace.
Když násobíte dvě komplexní čísla, jejich úhly (argumenty) se sčítají a jejich velikosti se násobí. Pokud obě čísla leží na jednotkové kružnici (mají velikost 1), mění se jen úhly. Násobení n-krát přičte úhel n-krát: to je De Moivreova věta.
De Moivreova věta ukazuje, že cos(n*theta) lze vždy zapsat jako polynom v cos(theta). Jsou to Čebyševovy polynomy T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta). Například cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1, tedy T_2(x) = 2x^2 - 1. Objevují se v numerické analýze, návrhu filtrů i teorii aproximace.