e je jediné číslo, pro něž je funkce eˣ svou vlastní derivací. Začněte s libovolnou částkou a nechte ji spojitě růst o 100 % ročně. Po přesně jednom roce máte ekrát tolik, kolik jste měli na začátku. Žádný jiný základ tuto sebereferenční vlastnost nemá.
Jak n roste, posloupnost se k e blíží zdola a konverguje k 2.71828182845904…
Tabulka ukazující, jak (1+1/n)^n konverguje k e
| n | (1 + 1/n)ⁿ | vzdálenost od e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
Interpretace složeného úročení: pokud banka vyplácí 100% roční úrok, ale připisuje jej nkrát za rok, váš zůstatek roste podle (1 + 1/n)ⁿ. Při měsíčním připisování dostanete 2.613. Při připisování každou sekundu 2.718. Při spojitém připisování dostanete přesně e.
Při x=1 je výška křivky e ≈ 2,718 a směrnice tečny je také e. Žádný jiný základ b^x tuto vlastnost nemá.
Jacob Bernoulli objevil e v roce 1683 při studiu složeného úročení. Euler jej označil písmenem e v roce 1731. Je iracionální (Euler, 1737) a transcendentní (Hermite, 1873). Jeho desetinný rozvoj 2.71828182845904523536… se nikdy neopakuje.
Když začnete s 1 dolarem při 100% ročním úroku: měsíční připisování dává 2.613 $, denní 2.714 $, každou sekundu 2.718 $. Limitou pro n→∞ je přesně e.
e (Eulerovo číslo) je přibližně 2.71828182845904523536. Je to jediné číslo, pro které se funkce e^x v každém bodě rovná své vlastní derivaci. Jacob Bernoulli je objevil v roce 1683 při studiu složeného úročení. Leonhard Euler je označil písmenem e kolem roku 1731. e je iracionální (Euler, 1737) a transcendentní (Hermite, 1873). Objevuje se ve spojitém růstu a úbytku, v přirozených logaritmech, normálním rozdělení, složeném úročení, radioaktivním rozpadu i v Eulerově identitě e^(i*pi) + 1 = 0.
Eulerovo číslo e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the taylorova řada.