Základní věta analýzy spojuje dvě zdánlivě oddělené myšlenky. Část 1: pokud integrujete funkci od pevného bodu do x, derivace tohoto integrálu je původní funkce. Část 2: určitý integrál funkce f od a do b se rovná libovolné primitivní funkci F vyhodnocené v bodě b minus F v bodě a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667. Primitivní funkce F(x) = x³/3 dává přesný obsah bez aproximace.
Před touto větou vyžadoval výpočet obsahů Riemannovy součty: rozdělit oblast na tenké obdélníky, všechny je sečíst a vzít limitu. Základní věta analýzy to všechno nahradí jediným odčítáním. Newton tomu rozuměl už roku 1666 a Leibniz nezávisle roku 1675. Jejich spor o prioritu na jednu generaci rozdělil evropskou a britskou matematiku.
Každý integrál probíraný v kurzech analýzy používá část 2: najděte primitivní funkci, dosaďte krajní body, odečtěte. Funguje to proto, že diferenciace a integrace jsou přesně navzájem inverzní. Je to jeden z nejhlubších a nejužitečnějších výsledků v celé matematice.
Riemannův součet s 8 obdélníky dává ≈ 0.273. Přesný výsledek je 8/3 ≈ 2.667. Základní věta analýzy dává přesné výsledky bez potřeby obdélníků.
Práce vykonaná proměnnou silou F(x) při posunutí od a do b je W = integrál od a do b z F(x) dx = P(b) - P(a), kde P je funkce potenciální energie splňující P' = -F. Integrací rychlosti dostaneme dráhu; integrací síly impuls. Základní věta analýzy činí tyto výpočty zvládnutelnými namísto potřeby nekonečných Riemannových součtů.