Harmonická řada 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ diverguje, ale roste neuvěřitelně pomalu. Po milionu členů sotva dosáhne 14. Přirozený logaritmus ln(n) roste stejnou rychlostí. Eulerova–Mascheroniho konstanta γ je přesná mezera mezi nimi: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
Rozdíl mezi harmonickým součtem a ln(n) se blíží γ ≈ 0,5772 pro n → ∞. Konvergence je velmi pomalá – mezera je stále 0,001 při n = 1000.
γ se objevuje napříč analýzou a teorií čísel. Spojuje harmonickou řadu s Riemannovou zeta funkcí: γ = -ζ'(1) ve formálním smyslu. Objevuje se v gamma funkci Γ'(1) = -γ, v rozdělení mezer mezi prvočísly, v Besselových funkcích a v asymptotickém rozvoji digamma funkce.
To, zda je γ racionální nebo iracionální, je jedním z nejstarších otevřených problémů matematiky. Téměř každý matematik věří, že je transcendentní, ale důkaz neexistuje. Byla spočtena na více než 600 miliard desetinných míst: 0,57721566490153286060651209008240243…
Harmonické parciální součty H(n) (červeně, po schodech) versus ln(n)+γ (modře, hladce). Mezery mezi nimi se blíží 0, ale oscilují: H(n)−ln(n) → γ.
Eulerova–Mascheroniho konstanta gamma je přibližně 0,57721566490153286060. Zda je racionální nebo iracionální, nevíme; jde o jeden z nejznámějších otevřených problémů matematiky. Euler ji poprvé publikoval roku 1734; Mascheroni ji nezávisle spočítal roku 1790. Gamma se objevuje v gamma funkci, Riemannově zeta funkci, Mertensově větě o součinech prvočísel, Besselových funkcích a v rozdělení mezer mezi prvočísly. Protože neexistuje streamovací algoritmus, její číslice jsou předpočítány a uloženy.
Eulerova–Mascheroniho konstanta γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the harmonic-logarithm limit.