Funkce e^(−x²) je zvonová křivka: dosahuje maxima 1 při x = 0 a symetricky klesá k 0 na obě strany. Obsah pod ní na celé reálné ose je přesně √π ≈ 1.7724. To je pozoruhodné: e a π, s nimiž se obvykle setkáváme v oddělených souvislostech, se spojují v nejjednodušším integrálu teorie pravděpodobnosti.
Integrál e^(−x²) přes všechna x se rovná √π ≈ 1.7725. To je Gaussův integrál. Jeho odmocnina dělená √(2π) dává křivku standardního normálního rozdělení.
Důkaz je jedním z nejelegantnějších triků v matematice. Položte I = ∫e^(−x²)dx. Spočítejte I² tak, že jej zapíšete jako dvojný integrál přes x a y, a pak přejdete do polárních souřadnic r, θ. Integrand se změní na e^(−r²) a plošný element na r·dr·dθ. Faktor r udělá integrál elementárním: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Vynásobením ∫₀^(2π) dθ = 2π dostaneme I² = π, tedy I = √π.
Normální rozdělení, centrální limitní věta, kvantové vlnové funkce (které používají Gaussovy vlnové pakety) i Stirlingovo přiblížení pro faktoriály stojí na tomto jediném integrálu. Hodnota √π se objevuje všude tam, kde se integruje e^(−x²), a to se v souvislé pravděpodobnosti ukazuje téměř všude.
Gaussův integrál: integrál od -nekonečna do +nekonečna z e^(-x^2) dx = sqrt(pi). Elegantní důkaz integrál umocní na druhou, převede do polárních souřadnic a vyhodnotí jej přesně. Je to klíčový výpočet za normálním rozdělením: hustota pravděpodobnosti (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) se integruje na 1. Gaussova funkce se objevuje v kvantové mechanice, difuzi tepla, Stirlingově přiblížení i v centrální limitní větě.