Gelfondova konstanta je e umocněné na π. Její přibližná hodnota je 23,14069263277927… Dokázat, že je transcendentní, byl Hilbertův 7. problém, formulovaný roku 1900 jako jedna z 23 nejdůležitějších nevyřešených otázek 20. století. Alexander Gelfond jej vyřešil roku 1934.
e^π leží svůdně blízko 23, ale míjí ji o 0,14. Shoda e^π - π ≈ 19,999 je ještě těsnější, ale stejně bez významu.
Věta Gelfond–Schneiderové (1934) říká: je-li a algebraické, ne 0 ani 1, a b algebraické a iracionální, pak je a^b transcendentní. Gelfondova konstanta e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Zde je a = −1 (algebraické) a b = −i (algebraické a iracionální). Věta se použije přímo.
Tabulka příkladů čísel, jejichž transcendenci dokazuje věta Gelfond–Schneiderové
| Výraz | a | b | Výsledek |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transcendentní |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transcendentní |
| √2^√2 | √2 | √2 | transcendentní |
Číselné téměř-minutí e^π − π ≈ 19,9990999 nemá známé matematické vysvětlení. Nejspíš jde o náhodu, ale podobné shody (jako Ramanujanova konstanta) se někdy ukážou mít hlubší důvod. e^π bylo spočítáno na miliony desetinných míst: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. To lze dokázat bez kalkulačky: funkce x^(1/x) má maximum v bodě x=e, takže e^(1/e) > π^(1/π), z čehož plyne e^π > π^e.
Gelfondova konstanta e^pi ≈ 23.14069. Dokázat, že je transcendentní, byl Hilbertův 7. problém (1900). Gelfond jej vyřešil roku 1934: je-li a algebraické (ne 0 ani 1) a b algebraické a iracionální, pak je a^b transcendentní. Protože e^pi = (-1)^(-i) a -1 i -i jsou algebraická, přičemž -i je iracionální, věta se použije. Těsná shoda e^pi - pi ≈ 19.999 nemá žádné známé matematické vysvětlení.