Harmonická řada je součet všech jednotkových zlomků. Každý člen 1/n směřuje k nule, což může naznačovat, že součet konverguje, ale není tomu tak. Důkaz využívá seskupování: 1/3+1/4 > 1/2, potom 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, a každá taková skupina přidá alespoň 1/2, takže celek překročí libovolnou mez. Přesto diverguje mimořádně pomalu: aby parciální součet dosáhl 100, je potřeba více členů, než je atomů v pozorovatelném vesmíru.
H(n) a ln(n) rostou společně a vždy se liší přibližně o γ ≈ 0,5772. Obě funkce divergují: k dosažení H(n) = 100 je potřeba asi 10^43 členů.
K dosažení H(n)=100 je potřeba ~10^43 členů. To je více než atomů v pozorovatelném vesmíru.
Harmonická řada 1 + 1/2 + 1/3 + ... diverguje, což dokázal Nicole Oresme kolem roku 1350. Přestože každý člen míří k nule, součet překročí libovolnou mez. Parciální součty rostou jako ln(n) + gamma, kde gamma ≈ 0,5772 je Eulerova–Mascheroniho konstanta. Po milionu členů je součet teprve asi 14. K dosažení 100 je potřeba více než 10^43 členů. Střídavá řada 1 - 1/2 + 1/3 - ... konverguje k ln 2.