Číslo je iracionální, pokud jej nelze vyjádřit jako zlomek p/q, kde p a q jsou celá čísla. Jeho desetinný rozvoj nikdy nekončí a nikdy se neopakuje. √2, π, e a φ jsou všechna iracionální. Na číselné ose vyplňují mezery mezi racionálními čísly a ve skutečnosti jsou mnohem početnější než čísla racionální.
Modře: racionální čísla (přesné zlomky). Červeně: iracionální čísla (neopakující se desetinné rozvoje). Mezi libovolnými dvěma racionálními čísly leží iracionální a naopak.
Srovnávací tabulka racionálních čísel s končícími nebo periodickými desetinnými rozvoji proti iracionálním číslům s nekonečnými neopakujícími se rozvoji
| RACIONÁLNÍ: končí nebo se opakuje | IRACIONÁLNÍ: nikdy se neopakuje |
|---|---|
| 1/4 = 0.25000... | √2 = 1.4142135... |
| končí | bez vzoru, nikdy |
| 1/3 = 0.3333... | π = 3.1415926... |
| opakující se blok: {3} | bez vzoru, nikdy |
| 22/7 = 3.142857... | e = 2.7182818... |
| opakující se blok: {142857} | bez vzoru, nikdy |
| 5/11 = 0.454545... | φ = 1.6180339... |
| opakující se blok: {45} | bez vzoru, nikdy |
Racionální čísla, přestože jich je nekonečně mnoho, lze vyjmenovat (jsou spočetná). Iracionální čísla vyjmenovat nelze. Kdybyste náhodně vybrali reálné číslo, pravděpodobnost, že bude racionální, je nulová.
Číslo je iracionální, pokud je nelze zapsat jako zlomek p/q s celými čísly p a q. Jeho desetinný rozvoj nikdy nekončí a nikdy se neopakuje. √2 bylo kolem roku 500 př. n. l. prvním číslem, u něhož byla iracionalita dokázána. π, e a φ jsou také iracionální. Racionální čísla jsou nekonečná, ale spočetná; iracionální čísla jsou nespočetná. To znamená, že „většina“ reálných čísel je iracionální.