Každé reálné číslo má nejlepší racionální aproximace: zlomky p/q, které jsou k x blíž než jakýkoli zlomek s menším jmenovatelem. Jmenovatele q₁, q₂, q₃, … rostou, ale jakou rychlostí? Paul Lévy roku 1935 dokázal, že pro téměř každé reálné číslo qₙ^(1/n) konverguje k e^β ≈ 3,27582, kde β = π²/(12 ln 2).
Pro téměř všechna reálná čísla roste ln(qₙ) lineárně se směrnicí β ≈ 1,1865. Jmenovatele konvergentů π (1, 7, 106, 113, 33102…) rostou v průměru rychleji kvůli anomálnímu parciálnímu podílu 292.
Zlatý poměr φ = [1;1,1,1,…] má Fibonacciho jmenovatele 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … rostoucí rychlostí φ ≈ 1,618 na krok. To je mnohem pomalejší než e^β ≈ 3,276, a proto je φ „nejiracionálnější“ číslo: jeho aproximace se zlepšují nejpomaleji. U většiny čísel rostou jmenovatele mnohem rychleji, rychlostí e^β.
Porovnání rychlostí růstu jmenovatelů u zlatého poměru a typického čísla
| φ = [1;1,1,1,…] | Typické číslo |
|---|---|
| qₙ roste jako φⁿ ≈ 1.618ⁿ | qₙ roste jako (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ |
| Nejpomalejší možný růst | Lévyho věta |
Hodnota β = π²/(12 ln 2) vzniká integrací Gaussova–Kuzminova rozdělení. ln 2 pochází z práce v základu 2 (binárně) a π² vychází ze stejných zdrojů jako ζ(2) = π²/6. Lévyho konstanta: 1,1865691104156254… e^β = 3,275822918721811159787681882…
Parciální podíl 292 v kroku 5 způsobí, že jmenovatele π rostou mnohem rychleji než průměrně. U „typického“ čísla platí ln(qₙ)/n → β ≈ 1,187.
| n | Parciální podíl aₙ | Konvergent pₙ/qₙ | Jmenovatel qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0.00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0.97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1.55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1.19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2.52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1.74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1.54 |
Lévyho konstanta beta = pi^2/(12 ln 2) ≈ 1,18657. Pro téměř každé reálné číslo platí, že jmenovatel qn n-tého konvergentu splňuje qn^(1/n) → e^beta ≈ 3,27582. Dokázal to Paul Lévy roku 1935. Zlatý poměr, jehož Fibonacciho jmenovatele rostou rychlostí phi ≈ 1,618, je daleko pod průměrem, což potvrzuje, že je nejtěžším číslem na aproximaci. Vzorec kombinuje pi a ln 2 a spojuje kruhovou geometrii s logaritmy prostřednictvím Gaussova–Kuzminova rozdělení.