Sečtěte převrácené hodnoty všech prvočísel do n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Tento součet roste, ale mimořádně pomalu: jako ln(ln(n)). Meisselova–Mertensova konstanta M je přesná mezera mezi tímto součtem a jeho dominantním členem, stejně jako Eulerova–Mascheroniho konstanta γ je mezerou mezi harmonickou řadou a ln(n).
Euler roku 1737 dokázal, že součet převrácených hodnot všech prvočísel diverguje. To je mnohem těžší než dokázat, že existuje nekonečně mnoho prvočísel, a dává kvantitativní představu o tom, jak hustá prvočísla jsou. Mertensova věta pak říká Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), čímž určuje M jako přesný konstantní člen.
Srovnání Eulerovy–Mascheroniho a Meisselovy–Mertensovy konstanty vedle sebe
| Eulerova–Mascheroniho γ | Meisselova–Mertensova M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| Všechna celá čísla | Pouze prvočísla |
M a γ souvisejí vztahem M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Není známo, zda je některá z těchto konstant iracionální. Obě jsou spočítány na miliardy desetinných míst a předpokládá se, že jsou transcendentní, ale důkaz neexistuje ani pro jednu. M: 0.261497212847642783755426838608669…
Harmonický součet (modře): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Součet převrácených hodnot prvočísel (roste jako ln(ln(n))+M): ve stejných bodech jen 0.84, 1.18, 1.52, 1.85.
Eulerova–Mascheroniho konstanta gamma měří mezeru mezi harmonickou řadou (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) a ln(n). Meisselova–Mertensova konstanta M hraje stejnou roli pro součet převrácených hodnot prvočísel (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) vůči ln(ln(n)). Obě jsou „korekční“ konstanty pro divergentní řady, které rostou logaritmicky.
Meisselova–Mertensova konstanta M ≈ 0.26149 hraje pro převrácené hodnoty prvočísel stejnou roli, jakou Eulerova–Mascheroniho konstanta hraje pro harmonickou řadu. Mertens roku 1874 dokázal, že 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + malá chyba. Není známo, zda je M iracionální. Objevuje se v Mertensově větě o součinech přes prvočísla i v hustotě hladkých čísel. M a gamma spolu souvisejí konkrétním součtem přes všechna prvočísla.