Modulární aritmetika je aritmetika na kruhu. Dvě čísla jsou kongruentní modulo n, pokud se liší o násobek čísla n. Hodiny počítají modulo 12: 10 hodin po páté jsou 3, nikoli 15. Tato jednoduchá myšlenka stojí za veškerou moderní kryptografií, hashovacími funkcemi, opravnými kódy i velkou částí teorie čísel.
Každý řádek i sloupec obsahuje {0,1,2,3,4} právě jednou. Pět prvků tvoří uzavřenou grupu vzhledem ke sčítání modulo 5. Červeně: součty, které se přetočí zpět (≥5).
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Modulární aritmetika zavádí kongruenci: a je kongruentní s b modulo n, pokud n dělí a−b. Gauss ji systematicky zpracoval v roce 1801. Stojí za veškerou moderní kryptografií s veřejným klíčem: šifrování RSA se opírá o Fermatovu malou větu, podle níž a^(p-1) ≡ 1 mod p pro každé prvočíslo p, které nedělí a. Hashovací funkce používají modulární operace k převodu velkých vstupů na výstupy pevné délky. Celá čísla modulo n tvoří úplný okruh, a když je n prvočíslo, tvoří konečné těleso.