Matematika vybudovala pět hlavních číselných systémů, z nichž každý je rozšířením předchozího. Každé rozšíření motivovala rovnice bez řešení: „kolik je 3−5?“ vynutilo celá čísla; „kolik je 1/3?“ vynutilo racionální čísla; „kolik je √2?“ vynutilo reálná čísla; „kolik je √(-1)?“ vynutilo komplexní čísla.
Tabulka ukazující vlastnosti získané a ztracené při rozšiřování číselných systémů
| SYSTÉM | ZÍSKÁNO | ZTRACENO/ZMĚNĚNO |
|---|---|---|
| N (přirozená čísla) | počítání, +, × | nelze odčítat |
| Z (celá čísla) | odčítání, záporná čísla | nelze vždy dělit |
| Q (racionální čísla) | dělení, zlomky | neobsahují √2 |
| R (reálná čísla) | všechny limity, √2, π | neobsahují √(-1) |
| C (komplexní čísla) | všechny kořeny polynomů | algebraicky uzavřená |
| H (kvaterniony) | rotace v 3D | ab ne = ba |
| Každé rozšíření je skutečné zvětšení, nikoli jen přejmenování |
Modře: přirozená čísla ℕ. Zeleně přidáváme 0. Fialová rozšiřuje o záporná celá čísla ℤ. Oranžová přidává zlomky ℚ. Červeně: iracionální čísla vyplňují zbytek ℝ.
Matematika má pět hlavních číselných systémů: přirozená čísla N (počítání, bez odčítání), celá čísla Z (přidávají odčítání a záporná čísla), racionální čísla Q (přidávají dělení), reálná čísla R (přidávají limity a iracionální čísla) a komplexní čísla C (přidávají sqrt(-1)). Každé rozšíření vyřešilo rovnici, která v předchozím systému řešení neměla. Komplexní čísla jsou algebraicky uzavřená: každá polynomiální rovnice má řešení v C. Vnoření je přísné: N uvnitř Z uvnitř Q uvnitř R uvnitř C, přičemž transcendentní čísla vyplňují vnější vrstvu R.