součet VŠECH dělitelů (včetně n) je roven dvojnásobku čísla
Dokonalé číslo se rovná součtu všech svých vlastních dělitelů (tedy všech dělitelů kromě sebe samého). 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. Jsou mimořádně vzácná: známo je pouze 51, všechna sudá, a rostou astronomicky rychle. Zda existuje alespoň jedno liché dokonalé číslo, zůstává jedním z nejstarších otevřených problémů matematiky.
První čtyři dokonalá čísla: portréty dělitelů
Eukleidovo–Eulerovo tvrzení: sudá dokonalá čísla ↔ Mersennova prvočísla
n is even perfect ⟺ n = 2^(p−1) · (2^p − 1)
kde 2^p − 1 je Mersennovo prvočíslo
Eukleidés dokázal směr →. Euler dokázal ←. Všech 51 známých dokonalých čísel je sudých a vzniká z tohoto vzorce. Zda existují lichá dokonalá čísla, není známo.
Dokonalá čísla v logaritmickém měřítku: rostou rychleji než exponenciálně
Hodnoty jsou zobrazeny jako log10. I v logaritmickém měřítku je každý skok dramaticky větší. Padesáté první dokonalé číslo má přes 49 milionů číslic.
Dokonalé číslo se rovná součtu svých vlastních dělitelů: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Eukleidés ukázal, že 2^(p-1)*(2^p-1) je dokonalé, kdykoli je 2^p-1 prvočíslo. Euler dokázal obrácené tvrzení: každé sudé dokonalé číslo má tento tvar. Zda existuje alespoň jedno liché dokonalé číslo, patří k nejstarším nevyřešeným problémům; žádné dosud nalezeno nebylo. Známo je pouze 51 dokonalých čísel, všechna sudá, odpovídající 51 známým Mersennovým prvočíslům.