φ (phi) je kladné řešení rovnice x² = x + 1. Tato rovnice má geometrický význam: rozdělíte-li úsečku tak, že poměr celku k delší části se rovná poměru delší části ke kratší, tento poměr je φ. Žádné jiné číslo tuto samopodobnou vlastnost nemá.
Tabulka poměrů Fibonacciho čísel konvergujících k phi
| dvojice Fib. | poměr | vzdálenost od φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
Zlatý řez se objevuje v pravidelném pětiúhelníku a pentagramu, kde se úhlopříčky navzájem protínají ve zlatém poměru. Každé Fibonacciho číslo dělené předchozím se blíží k φ. Řetězový zlomek [1; 1, 1, 1, …] je nejjednodušší nekonečný řetězový zlomek: samé jedničky. Díky tomu je φ nejhůře aproximovatelné zlomky, a proto se mu říká „nejiracionálnější číslo“.
Odřízněte čtverec od zlatého obdélníku. Zbývající část je další zlatý obdélník, menší o faktor 1/φ. Opakujte donekonečna. Oblouk kreslí zlatou spirálu známou z lastur a galaxií.
φ splňuje φ² = φ + 1, takže φ = 1 + 1/φ. Opakovaným dosazením dostaneme: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Tento nekonečný řetězový zlomek složený samými jedničkami je zároveň definicí i důvodem jeho statusu „nejiracionálnějšího“. Spočteno na plnou přesnost: 1.61803398874989484820…
V pravidelném pětiúhelníku se stranou délky 1 má každá úhlopříčka délku φ ≈ 1,618. Úhlopříčky se také navzájem dělí ve zlatém poměru. Nakreslete všech pět úhlopříček a dostanete pentagram: sám plný zlatých proporcí.
Zlatý řez phi je přibližně 1.61803398874989484820. Je to kladné řešení rovnice x² = x + 1. Phi je iracionální, algebraické a je limitním poměrem po sobě jdoucích Fibonacciho čísel. Objevuje se v pravidelném pětiúhelníku a ikosaedru, ve spirálách slunečnicových semen i v proporcích zkoumaných už od starověkého Řecka. Jeho řetězový zlomek [1; 1, 1, 1, ...] z něj činí reálné číslo, které je nejtěžší aproximovat zlomky, a proto fylotaxe používá zlatý úhel odvozený od phi.
Zlatý řez φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the kvadratický vzorec.