V každém pravoúhlém trojúhelníku se čtverec nad přeponou (stranou proti pravému úhlu) rovná součtu čtverců nad zbývajícími dvěma stranami. Jsou-li odvěsny a a b a přepona c, pak a² + b² = c². Trojúhelník 3–4–5 splňuje 9 + 16 = 25.
a² + b² = c². Pro trojúhelník 3-4-5 platí 9 + 16 = 25. Modrý a červený čtverec mají dohromady stejný obsah jako zelený čtverec.
Babylonské hliněné tabulky z roku 1900 př. n. l. uvádějí pythagorejské trojice (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), což ukazuje, že výsledek byl empiricky znám dlouho před Pythagorem. Jeho škola (kolem roku 570 př. n. l.) podala první důkaz. Dnes je známo přes 370 různých důkazů, včetně algebraických, geometrických, trigonometrických i jednoho publikovaného americkým prezidentem Jamesem Garfieldem roku 1876.
Tabulka pythagorejských trojic
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
V n rozměrech je vzdálenost od počátku k bodu (x₁, x₂, …, xₙ) rovna √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²). Fermatova poslední věta (dokázaná Andrewem Wilesem roku 1995 po 358 letech) říká, že pro n větší než 2 neexistují žádná celočíselná řešení aⁿ + bⁿ = cⁿ. Pythagorova věta je případ n=2 s nekonečně mnoha celočíselnými řešeními.
Oba velké čtverce mají rozměr (a+b)×(a+b). Oba obsahují čtyři shodné pravoúhlé trojúhelníky. To, co zůstane vlevo, je c². To, co zůstane vpravo, je a²+b². Musí se tedy rovnat.
V každém pravoúhlém trojúhelníku platí a^2 + b^2 = c^2. Empiricky ji znali už Babyloňané kolem roku 1800 př. n. l.; první důkaz podali Pythagorejci kolem roku 570 př. n. l. Existuje přes 370 různých důkazů, včetně jednoho od amerického prezidenta Jamese Garfielda z roku 1876. Celočíselná řešení jsou pythagorejské trojice: všechny trojice vznikají jako (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2). Fermatova poslední věta (Wiles, 1995) ukazuje, že pro exponenty větší než 2 žádná analogická celočíselná řešení neexistují. Věta se rozšiřuje do n rozměrů jako vzorec eukleidovské vzdálenosti.