Riemannova zeta funkce je ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ Euler studoval její reálnou verzi a našel ζ(2) = π²/6 (Basilejský problém) i součinový vzorec ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) přes všechna prvočísla. Riemann rozšířil funkci na komplexní čísla ve svém přelomovém článku z roku 1859.
Tabulka hodnot zeta funkce v celých bodech
| s | ζ(s) | přesný tvar |
|---|---|---|
| 2 | 1.64493… | π²/6 |
| 3 | 1.20206… | neznámý (Apéry) |
| 4 | 1.08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1.01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | triviální nuly |
Riemannův klíčový vhled: když rozšíříme ζ(s) na komplexní s, netriviální nuly (kde ζ(s) = 0 a 0 < Re(s) < 1) řídí rozdělení prvočísel. Každá nula přidává oscilaci do funkce počítající prvočísla. Riemann roku 1859 vyslovil domněnku, že všechny netriviální nuly leží na přímce Re(s) = 1/2. To je Riemannova hypotéza.
Bylo ověřeno, že více než 10 bilionů netriviálních nul leží na Re(s) = 1/2. Nikdy nebyl nalezen žádný protiargument. Clay Mathematics Institute nabízí 1 milion dolarů za důkaz (nebo vyvrácení). Důkaz by dal nejostřejší možnou mez chyby v rozdělení prvočísel. Riemannova hypotéza zůstává po 165 letech nedokázaná.
Riemannova zeta funkce splňuje symetrii: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s). To rozšiřuje zetu na všechna komplexní čísla s (kromě s = 1) a spojuje hodnotu v s s hodnotou v 1-s. Ukazuje to, že netriviální nuly přicházejí v párech: je-li s nulou, pak je nulou i 1-s. Triviální nuly v s = -2, -4, -6, ... vznikají z členu sin(pi*s/2).
Riemannova zeta funkce je zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Euler ji vyhodnotil v sudých celých bodech: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Riemann ji roku 1859 rozšířil na komplexní s a vyslovil domněnku, že všechny netriviální nuly leží na Re(s) = 1/2. Tato Riemannova hypotéza zůstává po 165 letech nedokázaná a je mezi cenami Clay Millennium Prize s odměnou 1 milion dolarů. Na kritické přímce bylo ověřeno přes 10 bilionů nul. Nuly řídí rozdělení prvočísel: každá přidává oscilaci do funkce počítající prvočísla.