√2 je délka úhlopříčky jednotkového čtverce. Položte na stůl čtverec se stranami délky 1. Vzdálenost z jednoho rohu do protějšího je přesně √2. To je Pythagorova věta v nejjednodušší podobě: 1² + 1² = (√2)².
Pythagorejci objevili kolem roku 500 př. n. l., že √2 nelze vyjádřit jako zlomek p/q, kde p a q jsou celá čísla. Důkaz sporem je elegantní: předpokládejme, že √2 = p/q v základním tvaru. Pak 2q² = p², takže p je sudé. Odtud plyne, že i q je sudé, což je spor s předpokladem, že zlomek byl zkrácený.
Konvergenty z řetězového zlomku [1; 2, 2, 2, …]. Každý zlomek je střídavě pod a nad skutečnou hodnotou.
Konvergenty druhé odmocniny ze 2 z řetězového zlomku
| zlomek | desetinně | chyba |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 je algebraické (splňuje x² = 2), ale iracionální. V trigonometrii platí sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Formátová řada papírů A (A4, A3, A2…) používá poměr 1:√2, takže přeložením listu napůl dostanete stejný tvar. Pokračující rozvoj [1; 2, 2, 2, …] ukazuje, že √2 je nejjednodušší periodická kvadratická iracionalita.
Každý pravoúhlý trojúhelník má jednu odvěsnu rovnou předchozí přeponě a druhou odvěsnu rovnou 1. Přepony jsou √1, √2, √3, √4, √5… Většina je iracionální. √2 (červeně) byla první, u níž se iracionalita dokázala, pythagorejci.
Druhá odmocnina ze 2 je přibližně 1,41421356237309504880. Byla to první hodnota, u níž byla dokázána iracionalita, pythagorejci kolem roku 500 př. n. l. Geometricky je to úhlopříčka jednotkového čtverce. Je algebraická, protože splňuje rovnici x² = 2, ale není racionální. Její řetězový zlomek [1;2,2,2,…] je periodický a její konvergenty 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29… dávají vynikající aproximace.
Druhá odmocnina ze 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the řetězový zlomek.