Stirlingova aproximace říká, že pro velká n platí n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Výskyt π i e ve vzorci o počtu permutací je nápadný. Pro n = 10 je chyba pod 1 %. Pro n = 100 je pod 0,1 %. Vzorec se s rostoucím n zlepšuje bez omezení.
Relativní chyba |n! − Stirling(n)| / n! klesne pod 1 % při n = 8 a pod 0,1 % při n = 80. Pro velká n je Stirling v podstatě přesný.
Abraham de Moivre roku 1730 zjistil, že n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ pro nějakou konstantu C. James Stirling v témže roce určil C = √(2π). Člen √(2π) vzniká z Gaussova integrálu: při odvození Stirlingova vzorce přes gama funkci se objeví integrál ∫e^(-t²)dt = √π, který vnese π do vzorce.
Logaritmický tvar se používá napříč fyzikou: ve statistické mechanice vyžaduje Boltzmannův vzorec pro entropii S = k·ln(W) výpočet ln(N!) pro obrovská N (moly částic). Stirling dává ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, čímž se výpočet stává zvládnutelným. Úplná asymptotická řada přidává korekce: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
Na logaritmické škále jsou n! a Stirlingova aproximace vizuálně nerozeznatelné. Relativní chyba se s růstem n blíží k 0.