Taylorova řada vyjadřuje libovolnou hladkou funkci jako nekonečný polynom. Každý koeficient je derivace: n-tý člen je f⁽ⁿ⁾(a)/n! krát (x-a)ⁿ. U dobře se chovajících funkcí, jako jsou eˣ, sin(x) a cos(x), řada konverguje ke skutečné hodnotě funkce všude.
Každý další člen rozšíří oblast dobré aproximace. S přidáváním členů: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Tři nejdůležitější Maclaurinovy řady: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (konverguje všude); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (konverguje všude); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (konverguje všude). Dosazením x = iπ do řady pro eˣ vznikne Eulerova identita.
Tabulka Maclaurinových řad
| f(x) | Řada | Poloměr |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor zformuloval obecnou větu roku 1715; zvláštní případ se středem v 0 zpopularizoval Colin Maclaurin roku 1742. Každá kalkulačka i počítač používá Taylorovy řady k vyhodnocování transcendentních funkcí. Chyba po n členech je omezena Lagrangeovým zbytkem: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Každá dvojice členů přidává další řád přesnosti.
Taylorova řada reprezentuje hladkou funkci jako nekonečný polynom: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Koeficienty jsou derivace ve středovém bodě a. Maclaurinovy řady mají střed v 0. Tři klíčové řady konvergují všude: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Dosazením x = i*pi do řady pro e^x se dokazuje Eulerova identita. Každá kalkulačka používá Taylorovy řady interně k vyhodnocování transcendentních funkcí.