Číslo je transcendentní, pokud není kořenem žádné polynomiální rovnice s celočíselnými koeficienty. π nevyhovuje žádné rovnici jako x^2 - 3x + 1 = 0. e také ne. Existují za hranicemi algebry. Přestože je obtížné je pojmenovat, jsou transcendentní čísla pravidlem, nikoli výjimkou: téměř každé reálné číslo je transcendentní.
Každé racionální číslo je algebraické. Každé algebraické číslo je reálné. Transcendentní čísla, tedy čísla mimo algebraický kruh, jsou však mnohem početnější než všechna algebraická čísla dohromady.
Od Liouvilleovy umělé konstrukce (1844) po Gelfondovu–Schneiderovu větu (1934) vyrostla teorie transcendence z kuriozity v hlavní oblast teorie čísel.
Tabulka ukazující algebraická čísla s jejich minimálními polynomy oproti transcendentním číslům, pro něž žádný takový polynom neexistuje
| ČÍSLO | MINIMÁLNÍ POLYNOM |
|---|---|
| √2 = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3.14159... | žádný polynom neexistuje |
| e = 2.71828... | žádný polynom neexistuje |
| e^π = 23.1406... | žádný polynom neexistuje |
Číslo je transcendentní, pokud nevyhovuje žádné polynomiální rovnici s celočíselnými koeficienty. Liouville uvedl první explicitní příklad roku 1844. Hermite roku 1873 dokázal, že e je transcendentní. Lindemann roku 1882 dokázal, že π je transcendentní, čímž definitivně uzavřel starověký problém kvadratury kruhu jako nemožný. Gelfondova–Schneiderova věta (1934) říká, že a^b je transcendentní, kdykoli je a algebraické a není 0 ani 1 a b je algebraické a iracionální. Přestože jde o pravidlo, nikoli výjimku, dokazovat transcendenci konkrétních čísel zůstává mimořádně obtížné.