Το ζ(3) είναι η τιμή της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν στο 3: το άθροισμα των 1/n³ για όλους τους θετικούς ακεραίους. Για άρτια ορίσματα, ο Όιλερ βρήκε όμορφες κλειστές μορφές: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Για περιττά ορίσματα δεν υπάρχει τέτοιος τύπος. Το αν το ζ(3) περιλαμβάνει καθόλου το π είναι άγνωστο.
Το ζ(3) βρίσκεται ανάμεσα σε δύο τιμές με γνωστές κλειστές μορφές που περιλαμβάνουν το π. Το αν το ζ(3) περιλαμβάνει το π παραμένει άγνωστο.
Το 1978 ο Ροζέ Απερύ ανακοίνωσε μια απόδειξη ότι το ζ(3) είναι άρρητο. Το ακροατήριο ήταν δύσπιστο. Ο Ανρί Κοέν και άλλοι μαθηματικοί έτρεξαν στα σπίτια τους για να την ελέγξουν σε υπολογιστές μέσα στη νύχτα. Το επόμενο πρωί επιβεβαίωσαν ότι ήταν σωστή. "Ήταν σαν βροντή σε καθαρό ουρανό", είπε ένας παρευρισκόμενος. Ο Απερύ ήταν 64 ετών.
Τα μερικά αθροίσματα 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... πλησιάζουν το ζ(3) ≈ 1.20206 από κάτω. Η σύγκ λιση είναι αργή: ακόμη και στο n=50 το άθροισμα απέχει 0.003.
Το αν το ζ(3) μπορεί να εκφραστεί ως προς το π είναι το εξέχον ανοικτό πρόβλημα. Όλες οι άρτιες τιμές της ζήτα είναι ρητά πολλαπλάσια της αντίστοιχης δύναμης του π. Οι περιττές τιμές της ζήτα φαίνεται να ανήκουν σε διαφορετικό κόσμο. Απείρως πολλές περιττές τιμές ζ(2n+1) είναι γνωστό ότι είναι άρρητες (Ριβουάλ, 2000), αλλά το ακριβές μοτίβο παραμένει μυστηριώδες. Πλήρης τιμή: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = ρητός αριθμός × π^(2k) για κάθε άρτιο k. Ο Όιλερ το απέδειξε αυτό για όλες τις άρτιες τιμές. Όμως τα ζ(3), ζ(5), ζ(7)... είναι εντελώς διαφορετικά. Το ζ(3) είναι άρρητο (Απερύ), αλλά δεν είναι γνωστή καμία σχέση με το π. Μπορεί να είναι πραγματικά ανεξάρτητο από το π.
Πίνακας που δείχνει τις τιμές της ζήτα σε άρτιους ακεραίους ως κλάσματα του π, ενώ οι περιττές παραμένουν άγνωστες
| Άρτια s: ακριβείς τύποι | Περιττά s: μυστήριο |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | άρρητος (Απερύ 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | άρρητος; άγνωστο |
| Όλα = ρητός × π^s | Δεν είναι γνωστή σύνδεση με το π |
Άγνωστο. Ο Ροζέ Απερύ απέδειξε το 1978 ότι το ζ(3) είναι άρρητο, αλλά το αν είναι υπερβατικό παραμένει ανοικτό πρόβλημα. Πιστεύεται ευρέως ότι είναι υπερβατικό, αλλά δεν υπάρχει απόδειξη.
Στην κβαντική ηλεκτροδυναμική (διορθώσεις στη μαγνητική ροπή του ηλεκτρονίου), στη θεωρία τυχαίων πινάκων και στην εντροπία του διδιάστατου μοντέλου Ίζινγκ. Εμφανίζεται επίσης στις κατανομές Φέρμι-Ντιράκ και Μπόζε-Αϊνστάιν της στατιστικής μηχανικής.
Ο Ραμανουτζάν βρήκε γρήγορα συγκλίνουσες σειρές για το ζ(3), συμπεριλαμβανομένου τύπου που περιέχει 7pi^3/180 και αθροίσματα πάνω σε εκθετικές. Τα τετράδιά του περιείχαν δεκάδες ταυτότητες σχετικές με το ζ(3), οι περισσότερες αποδείχθηκαν μόνο δεκαετίες μετά τον θάνατό του.
Οι ακέραιοι A(n) = άθροισμα των C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 ως προς το k, που εμφανίζονται στην απόδειξη αρρητότητας του Απερύ. Οι πρώτοι λίγοι είναι 1, 5, 73, 1445, 33001. Ικανοποιούν μια σχέση αναδρομής και μεγαλώνουν με τρόπο που αναγκάζει τους παρονομαστές των μερικών αθροισμάτων του 1/n^3 να ακυρώνουν συγκεκριμένους παράγοντες, κάνοντας το όριο άρρητο.
Η σταθερά του Απερύ ζ(3) είναι το άθροισμα 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959. Για άρτιες τιμές του s, ο Όιλερ βρήκε κλειστές μορφές που περιλαμβάνουν το π: ζ(2) = π^2/6, ζ(4) = π^4/90. Για περιττές τιμές δεν είναι γνωστός τέτοιος τύπος. Ο Ροζέ Απερύ απέδειξε το 1978 ότι το ζ(3) είναι άρρητο, σε ηλικία 64 ετών. Το αν είναι υπερβατικό ή εκφράσιμο ως προς το π παραμένει άγνωστο.