Το πρόβλημα της Βασιλείας ρωτά: ποια είναι η ακριβής τιμή του 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯; Η σειρά συγκλίνει, αλλά σε τι; Ο Πιέτρο Μενγκόλι το έθεσε το 1650. Άφησε άφωνους όλους τους μαθηματικούς για 84 χρόνια μέχρι που ο Όιλερ το έλυσε το 1734 σε ηλικία 28 ετών.
Τα μερικά αθροίσματα πλησιάζουν αργά το π²/6 ≈ 1.6449. Ο Όιλερ απέδειξε το 1734 ότι το όριο ισούται με π²/6, συνδέοντας την ανάλυση με τη γεωμετρία.
Η απόδειξη του Όιλερ παραγοντοποίησε τη σειρά Τέιλορ του sin(x)/x ως άπειρο γινόμενο πάνω στις ρίζες της ±π, ±2π, ±3π… Συγκρίνοντας τον συντελεστή του x² στη μορφή του γινομένου με τον συντελεστή Τέιλορ παίρνουμε άμεσα ότι Σ 1/n² = π²/6. Είναι ένας από τους πιο διάσημους υπολογισμούς στα μαθηματικά, και ο λόγος που εμφανίζεται εδώ το π δεν είναι σύμπτωση: οι κύκλοι και οι σφαίρες έχουν φυσικές συνδέσεις με αθροίσματα ακεραίων μέσω της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν.
Κάθε όρος 1/n^2 μειώνεται γρήγορα. Το άθροισμά τους συγκλίνει ακριβώς στο π^2/6 ~1.6449.
Το αποτέλεσμα γενικεύεται: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, και όλες οι άρτιες τιμές της ζήτα είναι ρητά πολλαπλάσια δυνάμεων του π. Οι περιττές τιμές ζ(3), ζ(5), ζ(7)… είναι πολύ πιο μυστηριώδεις. Ο Απερύ απέδειξε το 1978 ότι το ζ(3) είναι άρρητο, αλλά δεν είναι γνωστή καμία κλειστή μορφή σε όρους του π.
Η πιθανότητα δύο τυχαία επιλεγμένοι ακέραιοι να μην έχουν κοινό παράγοντα (να είναι πρώτοι μεταξύ τους) είναι ακριβώς 6/π^2, το αντίστροφο του π^2/6. Αυτό είναι περίπου 60.8%. Συνδέει άμεσα το πρόβλημα της Βασιλείας με τη θεωρία αριθμών και την πιθανότητα.