Ένας μιγαδικός αριθμός έχει δύο μέρη: ένα πραγματικό μέρος και ένα φανταστικό μέρος. Η φανταστική μονάδα i ικανοποιεί τη σχέση i² = -1. Κάθε πραγματικός αριθμός είναι μιγαδικός με b = 0. Οι μιγαδικοί αριθμοί γεμίζουν ένα δισδιάστατο επίπεδο αντί για μια μονοδιάστατη ευθεία, δίνοντας σε κάθε πολυωνυμική εξίσωση ακριβώς τόσες ρίζες όσος είναι ο βαθμός της.
Ο πολλαπλασιασμός με i είναι περιστροφή 90 μοιρών αριστερόστροφα. Ο πολλαπλασιασμός με i δύο φορές (δηλαδή με i²) είναι περιστροφή 180 μοιρών, που μετατρέπει το 1 σε -1. Άρα το i² = -1 δεν είναι αλγεβρικό τέχνασμα· είναι περιστροφή.
Στους πραγματικούς αριθμούς, η εξίσωση x²+1=0 δεν έχει λύση. Στους μιγαδικούς έχει δύο: i και -i. Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας λέει: επεκτάσου στους μιγαδικούς και κάθε πολυώνυμο βαθμού n έχει ακριβώς n ρίζες.
Πίνακας που δείχνει πολυώνυμα στους πραγματικούς έναντι των μιγαδικών, αποδεικνύοντας ότι κάθε πολυώνυμο βαθμού n έχει ακριβώς n μιγαδικές ρίζες
| ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ | ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ | ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 πραγματικές ρίζες | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 πραγματική ρίζα | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 πραγματικές ρίζες | 4 |
| Κάθε πολυώνυμο βαθμού n έχει ακριβώς n μιγαδικές ρίζες (μετρώντας τις πολλαπλότητες) |
Οι μιγαδικοί αριθμοί επεκτείνουν την πραγματική ευθεία σε δισδιάστατο επίπεδο εισάγοντας το i, όπου i τετράγωνο ισούται με -1. Κάθε μιγαδικός αριθμός z = a + bi έχει πραγματικό μέρος a, φανταστικό μέρος b, μέτρο |z| = sqrt(a² + b²) και όρισμα arg(z) = αντίστροφη εφαπτομένη του b/a. Ο πολλαπλασιασμός με e^(iθ) περιστρέφει κατά θ ακτίνια. Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας δηλώνει ότι κάθε πολυώνυμο βαθμού n έχει ακριβώς n μιγαδικές ρίζες μετρώντας πολλαπλότητες. Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι το θεμέλιο της κβαντομηχανικής, της επεξεργασίας σήματος και της ταυτότητας του Όιλερ.