Ένα συνεχές κλάσμα εκφράζει έναν αριθμό ως ακέραιο συν το αντίστροφο ενός άλλου συνεχούς κλάσματος. Κάθε πραγματικός αριθμός έχει μια μοναδική ανάπτυξη σε συνεχές κλάσμα. Οι ρητοί τερματίζουν· οι τετραγωνικοί άρρητοι επαναλαμβάνονται περιοδικά· οι υπερβατικοί όπως το π δεν δείχνουν κανένα μοτίβο. Τα συγκλίνοντα (οι ρητές προσεγγίσεις που προκύπτουν από αποκοπή) είναι αποδεδειγμένα οι καλύτερες προσεγγίσεις με παρονομαστή αυτού του μεγέθους.
Πίνακας που συγκρίνει τα συνεχή κλάσματα των φ sqrt2 e και π δείχνοντας ποια είναι περιοδικά και ποια ακανόνιστα
| ΣΤΑΘΕΡΑ | ΣΗΜΕΙΟΓΡΑΦΙΑ ΣΚ | ΤΥΠΟΣ |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | περιοδικό |
| √2 | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | περιοδικό |
| √3 | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | περιοδικό |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | μοτίβο |
| π | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | χωρίς μοτίβο |
| Θεώρημα: ένα συνεχές κλάσμα είναι περιοδικό αν και μόνο αν ο αριθμός είναι τετραγωνικός άρρητος (Λαγκράνζ, 1770) | ||
| το φ είναι το «δυσκολότερο» να προσεγγιστεί: το συνεχές κλάσμα του με όλα 1 δίνει τη χειρότερη δυνατή σύγκλιση |
Πίνακας συγκλινόντων του π που δείχνει ολοένα ακριβέστερες ρητές προσεγγίσεις με μικρούς παρονομαστές
| ΣΥΓΚΛΙΝΟΝ | ΔΕΚΑΔΙΚΟ | ΣΦΑΛΜΑ |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| το 355/113 είναι σωστό σε 6 δεκαδικά ψηφία με παρονομαστή μόλις 3 ψηφίων |
Τα συγκλίνοντα 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 εναλλάσσονται πάνω και κάτω από το π. Κάθε ένα είναι η καλύτερη ρητή προσέγγιση με αυτόν τον παρονομαστή ή μικρότερο.
Κάθε πραγματικός αριθμός έχει μία μοναδική ανάπτυξη σε συνεχές κλάσμα. Οι ρητοί έχουν πεπερασμένες αναπτύξεις. Οι τετραγωνικοί άρρητοι (όπως το √2 και το φ) έχουν τελικά περιοδικές αναπτύξεις. Οι υπερβατικοί όπως το π δεν παρουσιάζουν μοτίβο. Τα συγκλίνοντα ενός συνεχούς κλάσματος είναι οι καλύτερες ρητές προσεγγίσεις: τα 22/7 και 355/113 είναι συγκλίνοντα του π και το προσεγγίζουν σωστά σε 2 και 6 δεκαδικά ψηφία αντίστοιχα. Το Phi = [1; 1, 1, 1, ...] είναι ο δυσκολότερος αριθμός να προσεγγιστεί, κάνοντάς τον τον πιο άρρητο με ακριβή έννοια.