Το θεώρημα του ντε Μουάβρ λέει ότι αν υψώσεις ένα σημείο του μοναδιαίου κύκλου στη n-οστή δύναμη, απλώς πολλαπλασιάζεις τη γωνία του επί n. Αν ξεκινήσεις στη γωνία θ και εφαρμόσεις την πράξη n φορές, καταλήγεις στη γωνία nθ. Αυτή είναι η γεωμετρική καρδιά της αριθμητικής των μιγαδικών αριθμών.
Ξεκινώντας από γωνία θ=40° στον μοναδιαίο κύκλο. Το τετράγωνο διπλασιάζει τη γωνία σε 80° (πράσινο). Ο κύβος την τριπλασιάζει σε 120° (κόκκινο). Το σημείο απλώς περιστρέφεται: η απόστασή του από την αρχή παραμένει 1.
Το θεώρημα προκύπτει αμέσως από τον τύπο του Όιλερ e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Υψώνοντας και τις δύο πλευρές στη δύναμη n: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). Ο ντε Μουάβρ διατύπωσε το αποτέλεσμά του το 1707, 41 χρόνια πριν ο Όιλερ δημοσιεύσει τον τύπο, κάτι που κάνει την απόδειξη να μοιάζει με μαγεία και όχι με μηχανισμό.
Οι 6ες ρίζες της μονάδας σχηματίζουν κανονικό εξάγωνο στον μοναδιαίο κύκλο. Οι n-οστές ρίζες της z^n = 1 σχηματίζουν πάντα κανονικό n-γωνο, ισαπέχοντας στις γωνίες 2πk/n = τk/n.
Το θεώρημα του ντε Μουάβρ είναι το βασικό εργαλείο για τον υπολογισμό δυνάμεων και ριζών μιγαδικών αριθμών, για την παραγωγή τύπων πολλαπλών γωνιών (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ) και για την εύρεση των n ισαπέχοντων n-οστών ριζών οποιουδήποτε μιγαδικού αριθμού. Συνδέει την άλγεβρα των μιγαδικών αριθμών με τη γεωμετρία της περιστροφής.
Όταν πολλαπλασιάζεις δύο μιγαδικούς αριθμούς, οι γωνίες τους (ορίσματα) προστίθενται και τα μέτρα τους πολλαπλασιάζονται. Αν και οι δύο αριθμοί βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο (μέτρο 1), αλλάζουν μόνο οι γωνίες. Ο πολλαπλασιασμός n φορές προσθέτει τη γωνία n φορές: αυτό είναι το θεώρημα του ντε Μουάβρ.
Το θεώρημα του ντε Μουάβρ δείχνει ότι το cos(n·θ) μπορεί πάντα να γραφτεί ως πολυώνυμο του cos(θ). Αυτά είναι τα πολυώνυμα Τσεμπίσεφ T_n: T_n(cos θ) = cos(nθ). Για παράδειγμα, cos(2θ) = 2·cos²(θ) - 1, άρα T_2(x) = 2x^2 - 1. Εμφανίζονται στην αριθμητική ανάλυση, στον σχεδιασμό φίλτρων και στη θεωρία προσεγγίσεων.