Το e είναι ο μοναδικός αριθμός για τον οποίο η συνάρτηση eˣ ισούται με την ίδια της την παράγωγο. Ξεκίνα με οποιαδήποτε ποσότητα και άφησέ τη να αυξάνεται συνεχώς με 100% τον χρόνο. Μετά από ακριβώς ένα έτος έχεις e φορές αυτό με το οποίο ξεκίνησες. Καμία άλλη βάση δεν έχει αυτή την αυτοαναφορική ιδιότητα.
Καθώς το n μεγαλώνει, η ακολουθία προσεγγίζει το e από κάτω, συγκλίνοντας στο 2.71828182845904…
Πίνακας που δείχνει ότι το (1+1/n)^n συγκλίνει στο e
| n | (1 + 1/n)ⁿ | απόσταση από το e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
Η ερμηνεία του ανατοκισμού: αν μια τράπεζα πληρώνει 100% ετήσιο τόκο αλλά τον ανατοκίζει n φορές τον χρόνο, το υπόλοιπό σου μεγαλώνει κατά (1 + 1/n)ⁿ. Ο μηνιαίος ανατοκισμός δίνει 2.613. Ο ανατοκισμός κάθε δευτερόλεπτο δίνει 2.718. Ο συνεχής ανατοκισμός δίνει ακριβώς e.
Στο x=1, το ύψος της καμπύλης είναι e ≈ 2.718 και η κλίση της εφαπτομένης είναι επίσης e. Καμία άλλη βάση b^x δεν έχει αυτή την ιδιότητα.
Ο Γιάκομπ Μπερνούλι ανακάλυψε το e το 1683 ενώ μελετούσε τον ανατοκισμό. Ο Όιλερ το ονόμασε e το 1731. Είναι άρρητο (Όιλερ, 1737) και υπερβατικό (Ερμίτ, 1873). Η δεκαδική του ανάπτυξη 2.71828182845904523536… δεν επαναλαμβάνεται ποτέ.
Ξεκινώντας με 1€ στο 100% ετήσιο επιτόκιο: ο μηνιαίος ανατοκισμός δίνει 2.613, ο ημερήσιος 2.714, κάθε δευτερόλεπτο 2.718. Το όριο όταν n→∞ είναι ακριβώς το e.
Το e (αριθμός του Όιλερ) είναι περίπου 2.71828182845904523536. Είναι ο μοναδικός αριθμός για τον οποίο η συνάρτηση e^x ισούται με την ίδια της την παράγωγο σε κάθε σημείο. Ο Γιάκομπ Μπερνούλι τον ανακάλυψε το 1683 μελετώντας τον ανατοκισμό. Ο Λέονχαρντ Όιλερ τον ονόμασε e γύρω στο 1731. Το e είναι άρρητο (Όιλερ, 1737) και υπερβατικό (Ερμίτ, 1873). Εμφανίζεται στη συνεχή αύξηση και φθορά, στους φυσικούς λογαρίθμους, στην κανονική κατανομή, στον ανατοκισμό, στη ραδιενεργή διάσπαση και στην ταυτότητα του Όιλερ e^(i*π) + 1 = 0.
Αριθμός του Όιλερ e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the σειρά τέιλορ.