Η σταθερά Έρντες-Μπόρβαϊν E είναι το άθροισμα 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯. Οι παρονομαστές είναι οι αριθμοί Μερσέν 2ⁿ − 1. Ο Πολ Έρντος απέδειξε το 1948 ότι το E είναι άρρητο, χρησιμοποιώντας μόνο στοιχειώδεις ιδιότητες των δυαδικών αναπαραστάσεων.
Τα μερικά αθροίσματα συγκλίνουν γρήγορα στο E ≈ 1.6066951524. Οι παρονομαστές 2^n−1 μεγαλώνουν γεωμετρικά, κάνοντας τη σύγκλιση πολύ ταχύτερη από εκείνη του προβλήματος της Βασιλείας.
Η σειρά συγκλίνει γεωμετρικά γρήγορα: κάθε όρος είναι περίπου ο μισός του προηγούμενου (αφού 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ για μεγάλα n). Ύστερα από μόλις 20 όρους, το άθροισμα είναι ακριβές σε 6 δεκαδικά ψηφία. Η ισοδυναμία E = Σ d(n)/2ⁿ (όπου d(n) μετρά τους περιττούς διαιρέτες του n) τη συνδέει με τη θεωρία διαιρετότητας.
Το αν το E είναι υπερβατικό παραμένει ανοικτό. Αυτό που κάνει αξιομνημόνευτη την απόδειξη αρρητότητας του Έρντος είναι η οικονομία της: χρησιμοποίησε το γεγονός ότι οι δυαδικές αναπαραστάσεις των παρονομαστών 1, 3, 7, 15, 31… (δηλαδή 1, 11, 111, 1111, 11111 στο δυαδικό) έχουν ειδική δομή που εμποδίζει το άθροισμα να είναι ρητό. Η τιμή είναι 1.60669515245214159769492939967985…
Κάθε παρονομαστής 2^n - 1 είναι περίπου διπλάσιος από τον προηγούμενο. Το άθροισμα συγκλίνει στο E ~1.6066951524.
Η σταθερά Έρντες-Μπόρβαϊν E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669. Ο Πολ Έρντος απέδειξε το 1948 ότι είναι άρρητη χρησιμοποιώντας δυαδικές ιδιότητες των παρονομαστών 2^n - 1. Ισούται με το άθροισμα d(n)/2^n όπου d(n) μετρά τους περιττούς διαιρέτες του n. Η σειρά συγκλίνει γρήγορα: κάθε όρος είναι περίπου ο μισός του προηγούμενου. Το αν είναι υπερβατική παραμένει άγνωστο. Τιμή: 1.60669515245214159769492939967985...