Η ταυτότητα του Όιλερ προκύπτει από τον τύπο του Όιλερ: eix = cos(x) + i·sin(x). Θέτοντας x = π παίρνουμε eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, άρα eiπ + 1 = 0.
Το eiθ διατρέχει τον μοναδιαίο κύκλο. Μια περιστροφή κατά π καταλήγει στο −1. Πρόσθεσε 1 και παίρνεις 0.
Συνδέει την αριθμητική (0 και 1), την άλγεβρα (i), τη γεωμετρία (π) και την ανάλυση (e) — τέσσερις διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών — σε μία μόνο εξίσωση εκπληκτικής απλότητας. Ο Ρίτσαρντ Φάινμαν την αποκάλεσε "τον πιο αξιοσημείωτο τύπο στα μαθηματικά."
Ο Λέονχαρντ Όιλερ (1707–1783) δημοσίευσε τον τύπο eix = cos(x) + i·sin(x) στο Introductio in analysin infinitorum (1748). Η ταυτότητα είναι η ειδική περίπτωση για x = π. Ο Όιλερ εισήγαγε ή καθιέρωσε τους συμβολισμούς e, i, f(x), Σ και π.
Η σειρά Τέιλορ του eˣ ομαδοποιείται σε cos(π) για τους πραγματικούς όρους και i·sin(π) για τους φανταστικούς όρους. Εφόσον cos(π) = −1 και sin(π) = 0, παίρνουμε e^(iπ) = −1, άρα e^(iπ) + 1 = 0.
Ο τύπος e^(iθ) ιχνογραφεί έναν μοναδιαίο κύκλο στο μιγαδικό επίπεδο καθώς το θ αυξάνεται. Το e^(i*π) είναι περιστροφή ακριβώς π ακτινίων (180 μοιρών) από το 1, καταλήγοντας στο -1. Προσθέτοντας 1, επιστρέφεις στο 0. Γι’ αυτό το e^(i*π) + 1 = 0: είναι μισή περιστροφή του μιγαδικού επιπέδου εκφρασμένη ως εξίσωση.
Το e^(iθ) είναι τελεστής περιστροφής. Στο θ=π έχεις περιστραφεί ακριβώς μισό κύκλο. Το σημείο 1 στον πραγματικό άξονα πηγαίνει στο -1. Προσθέτοντας 1 και στις δύο πλευρές προκύπτει e^(iπ) + 1 = 0.
Η ταυτότητα του Όιλερ e^(i*π) + 1 = 0 ενώνει τις πέντε σημαντικότερες σταθερές των μαθηματικών: e (τη βάση των φυσικών λογαρίθμων), i (τη φανταστική μονάδα), π (τη σταθερά του κύκλου), 1 (τη μοναδιαία σταθερά του πολλαπλασιασμού) και 0 (την ουδέτερη σταθερά της πρόσθεσης). Προκύπτει άμεσα από τον τύπο του Όιλερ e^(iθ) = cos(θ) + i·sin(θ) θέτοντας θ = π. Εφόσον cos(π) = -1 και sin(π) = 0, έχουμε e^(i*π) = -1. Δημοσιεύθηκε πρώτη φορά από τον Όιλερ γύρω στο 1748. Έχει ψηφιστεί ως η ωραιότερη εξίσωση των μαθηματικών σε πολλές δημοσκοπήσεις.