Το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων δηλώνει ότι κάθε χάρτης σχεδιασμένος σε επίπεδη επιφάνεια μπορεί να χρωματιστεί με το πολύ τέσσερα χρώματα έτσι ώστε καμία δύο περιοχές που μοιράζονται σύνορο να μην έχουν το ίδιο χρώμα. Δύο περιοχές που αγγίζουν μόνο σε ένα σημείο μπορούν να έχουν το ίδιο χρώμα. Το θεώρημα ισχύει για κάθε χάρτη, όσο πολύπλοκος κι αν είναι.
Οι περιοχές 1, 2, 3, 4 συνορεύουν η καθεμία με αρκετές άλλες. Η αριστερή (4) και η δεξιά (4) περιοχή δεν μοιράζονται σύνορο, άρα μπορούν να μοιράζονται χρώμα. Εδώ χρειάζονται ακριβώς 4 χρώματα.
Ο Φράνσις Γκάθρι διατύπωσε την εικασία το 1852 ενώ χρωμάτιζε έναν χάρτη των αγγλικών κομητειών. Παρατήρησε ότι τέσσερα χρώματα φαίνονταν πάντα αρκετά, αλλά δεν μπόρεσε να το αποδείξει. Το πρόβλημα ταλαιπώρησε τους μαθηματικούς για 124 χρόνια. Πολλές ψευδείς αποδείξεις δημοσιεύθηκαν και καταρρίφθηκαν. Πέντε χρώματα αρκούν πάντα και αυτό αποδεικνύεται στο χέρι με τον τύπο του Όιλερ για επίπεδους γράφους.
Το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων χρειάστηκε 124 χρόνια από την εικασία έως την απόδειξη. Η απόδειξη του 1976 ήταν το πρώτο μεγάλο θεώρημα που επαληθεύτηκε με υπολογιστή.
Η απόδειξη του 1976 από τους Κένεθ Άπελ και Βόλφγκανγκ Χάκεν ήταν το πρώτο μεγάλο θεώρημα που αποδείχθηκε με υπολογιστή. Μείωσε όλους τους πιθανούς χάρτες σε 1.936 διαμορφώσεις και άφησε έναν υπολογιστή να επαληθεύσει καθεμία τους σε πάνω από 1.200 ώρες CPU. Πολλοί μαθηματικοί ένιωθαν άβολα με μια απόδειξη που δεν μπορούσε να ελεγχθεί πλήρως με το χέρι. Μια ανθρώπινα αναγνώσιμη απόδειξη, αν υπάρχει, παραμένει άγνωστη.
Πέντε εξωτερικές περιοχές (περιττός αριθμός) αναγκάζουν τον δακτύλιο να χρησιμοποιήσει 3 χρώματα: δεν υπάρχει 2-χρωματισμός ενός κύκλου 5 κορυφών. Η κεντρική περιοχή είναι γειτονική με όλες τις πέντε, αγγίζοντας και τα τρία χρώματα του δακτυλίου, άρα πρέπει να είναι τέταρτο χρώμα. Αυτό δείχνει ότι τα τέσσερα χρώματα είναι μερικές φορές πραγματικά αναγκαία.
Κάθε χάρτης σχεδιασμένος σε επίπεδη επιφάνεια μπορεί να χρωματιστεί με το πολύ τέσσερα χρώματα έτσι ώστε καμία δύο περιοχές που μοιράζονται σύνορο να μην έχουν το ίδιο χρώμα. Διατυπώθηκε από τον Φράνσις Γκάθρι το 1852. Αποδείχθηκε από τους Άπελ και Χάκεν το 1976 με τη βοήθεια υπολογιστή που επαλήθευσε 1.936 διαμορφώσεις, καθιστώντας το το πρώτο μεγάλο θεώρημα που αποδείχθηκε με υπολογιστική συνδρομή. Μια συντομότερη επαλήθευση από τους Ρόμπερτσον, Σάντερς, Σέιμουρ και Τόμας το 1997 μείωσε αυτόν τον αριθμό στις 633 διαμορφώσεις. Το θεώρημα δεν ισχύει στον τόρο, όπου μπορεί να απαιτούνται επτά χρώματα.