Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού συνδέει δύο φαινομενικά ξεχωριστές ιδέες. Μέρος 1: αν ολοκληρώσεις μια συνάρτηση από ένα σταθερό σημείο έως το x, η παράγωγος αυτού του ολοκληρώματος είναι η αρχική συνάρτηση. Μέρος 2: το ορισμένο ολοκλήρωμα της f από το a έως το b ισούται με οποιαδήποτε αρχική συνάρτηση F υπολογισμένη στο b μείον την τιμή της στο a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667. Η αρχική συνάρτηση F(x) = x³/3 δίνει το ακριβές εμβαδό χωρίς προσέγγιση.
Πριν από αυτό το θεώρημα, ο υπολογισμός εμβαδών απαιτούσε αθροίσματα Ρίμαν: διαίρεση της περιοχής σε λεπτά ορθογώνια, άθροισμα όλων τους και λήψη του ορίου. Το FTC τα αντικαθιστά όλα αυτά με μία αφαίρεση. Ο Νεύτων το είχε κατανοήσει ως το 1666 και ο Λάιμπνιτς ανεξάρτητα ως το 1675. Η διαμάχη τους για την προτεραιότητα χώρισε τα ευρωπαϊκά και βρετανικά μαθηματικά για μία γενιά.
Κάθε ολοκλήρωμα που διδάσκεται σε μαθήματα λογισμού χρησιμοποιεί το Μέρος 2: βρες μια αρχική, υπολόγισέ την στα άκρα και αφαίρεσε. Αυτό λειτουργεί επειδή η παραγώγιση και η ολοκλήρωση είναι ακριβώς αντίστροφες πράξεις μεταξύ τους. Είναι ένα από τα βαθύτερα και πιο χρήσιμα αποτελέσματα σε ολόκληρα τα μαθηματικά.
Ένα άθροισμα Ρίμαν με 8 ορθογώνια δίνει ≈ 0.273. Η ακριβής απάντηση είναι 8/3 ≈ 2.667. Το Θεμελι ώδες Θεώρημα δίνει ακριβή αποτελέσματα χωρίς να χρειάζονται ορθογώνια.
Το έργο που παράγεται από μια μεταβαλλόμενη δύναμη F(x) κατά μετατόπιση από το a στο b είναι W = ολοκλήρωμα από a έως b της F(x) dx = P(b) - P(a), όπου P είναι η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας που ικανοποιεί P' = -F. Η ταχύτητα ολοκληρώνεται σε μετατόπιση· η δύναμη ολοκληρώνεται σε ώθηση. Το FTC είναι αυτό που καθιστά αυτούς τους υπολογισμούς εφικτούς αντί να απαιτούν άπειρα αθροίσματα Ρίμαν.