Η αρμονική σειρά 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ αποκλίνει, αλλά μεγαλώνει απίστευτα αργά. Μετά από ένα εκατομμύριο όρους μόλις που φτάνει το 14. Ο φυσικός λογάριθμος ln(n) μεγαλώνει με τον ίδιο ρυθμό. Η σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι γ είναι το ακριβές χάσμα ανάμεσά τους: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
Η διαφορά ανάμεσα στο αρμονικό άθροισμα και στο ln(n) πλησιάζει το γ ≈ 0.5772 καθώς n → ∞. Η σύγκλιση είναι πολύ αργή – το χάσμα είναι ακόμη 0.001 στο n = 1000.
Το γ εμφανίζεται σε όλη την ανάλυση και τη θεωρία αριθμών. Συνδέει την αρμονική σειρά με τη συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν: γ = -ζ'(1) με τυπική έννοια. Εμφανίζεται στη συνάρτηση Γάμμα Γ'(1) = -γ, στην κατανομή των κενών μεταξύ πρώτων, στις συναρτήσεις Μπέσελ και στην ασυμπτωτική ανάπτυξη της διγαμματικής συνάρτησης.
Το αν το γ είναι ρητό ή άρρητο είναι ένα από τα παλαιότερα ανοικτά προβλήματα στα μαθηματικά. Σχεδόν κάθε μαθηματικός πιστεύει ότι είναι υπερβατικό, αλλά δεν υπάρχει απόδειξη. Έχει υπολογιστεί σε πάνω από 600 δισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία: 0.57721566490153286060651209008240243…
Τα αρμονικά μερικά αθροίσματα H(n) (κόκκινο, κλιμακωτό) έναντι του ln(n)+γ (μπλε, λείο). Το χάσμα ανάμεσά τους τείνει στο 0 αλλά ταλαντώνεται: H(n)−ln(n) → γ.
Η σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι γ είναι περίπου 0.57721566490153286060. Το αν είναι ρητή ή άρρητη είναι άγνωστο, ένα από τα πιο διάσημα ανοικτά προβλήματα στα μαθηματικά. Ο Όιλερ τη δημοσίευσε πρώτος το 1734· ο Μασκερόνι την υπολόγισε ανεξάρτητα το 1790. Η γ εμφανίζεται στη συνάρτηση Γάμμα, στη συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν, στο θεώρημα του Μέρτενς για γινόμενα πρώτων, στις συναρτήσεις Μπέσελ και στην κατανομή των κενών μεταξύ πρώτων. Εφόσον δεν υπάρχει αλγόριθμος συνεχούς ροής, τα ψηφία της έχουν προϋπολογιστεί και αποθηκευτεί.
Σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the όριο αρμονικής-λογαρίθμου.