Η συνάρτηση e^(−x²) είναι η καμπάνα: κορυφώνεται στο 1 όταν x = 0 και πέφτει συμμετρικά στο 0 και προς τις δύο κατευθύνσεις. Το εμβαδό κάτω από αυτήν σε ολόκληρη την πραγματική ευθεία ισούται ακριβώς με √π ≈ 1.7724. Αυτό είναι αξιοσημείωτο: το e και το π, που συνήθως εμφανίζονται σε διαφορετικά συμφραζόμενα, ενώνονται στο απλούστερο ολοκλήρωμα της θεωρίας πιθανοτήτων.
Το ολοκλήρωμα του e^(−x²) για όλα τα x ισούται με √π ≈ 1.7725. Αυτό είναι το ολοκλήρωμα Γκάους. Η τετραγωνική ρίζα του διαιρεμένη με √(2π) δίνει την καμπύλη της κανονικής κατανομής.
Η απόδειξη είναι ένα από τα πιο κομψά τεχνάσματα των μαθηματικών. Θέσε I = ∫e^(−x²)dx. Υπολόγισε το I² γράφοντάς το ως διπλό ολοκλήρωμα ως προς x και y, και μετά άλλαξε σε πολικές συντεταγμένες r, θ. Το ολοκληρωτέο γίνεται e^(−r²) και το στοιχείο εμβαδού γίνεται r·dr·dθ. Το r κάνει το ολοκλήρωμα στοιχειώδες: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Πολλαπλασιάζοντας με ∫₀^(2π) dθ = 2π παίρνουμε I² = π, άρα I = √π.
Η κανονική κατανομή, το κεντρικό οριακό θεώρημα, οι κβαντικές κυματοσυναρτήσεις (που χρησιμοποιούν γκαουσιανά κυματοπακέτα) και η προσέγγιση Στέρλινγκ για τα παραγοντικά στηρίζονται όλα σε αυτό το ένα ολοκλήρωμα. Η τιμή √π εμφανίζεται όπου ολοκληρώνεται το e^(−x²), και αυτό αποδεικνύεται ότι συμβαίνει σχεδόν παντού στη συνεχή πιθανότητα.
Το ολοκλήρωμα Γκάους: το ολοκλήρωμα από το -άπειρο έως το +άπειρο του e^(-x^2) dx = sqrt(π). Η κομψή απόδειξη τετραγωνίζει το ολοκλήρωμα, μεταβαίνει σε πολικές συντεταγμένες και το υπολογίζει ακριβώς. Αυτός είναι ο βασικός υπολογισμός πίσω από την κανονική κατανομή: η πυκνότητα πιθανότητας (1/sqrt(2*π))*e^(-x^2/2) ολοκληρώνεται σε 1. Η γκαουσιανή συνάρτηση εμφανίζεται στην κβαντομηχανική, στη διάχυση θερμότητας, στην προσέγγιση Στέρλινγκ και στο κεντρικό οριακό θεώρημα.