Η σταθερά του Γκέλφοντ είναι το e υψωμένο στη δύναμη π. Η προσεγγιστική τιμή της είναι 23.14069263277927… Η απόδειξη ότι είναι υπερβατική ήταν το 7ο πρόβλημα του Χίλμπερτ, που τέθηκε το 1900 ως ένα από τα 23 σημαντικότερα άλυτα ερωτήματα του 20ού αιώνα. Ο Αλεξάντερ Γκέλφοντ το έλυσε το 1934.
Το e^π βρίσκεται δελεαστικά κοντά στο 23 αλλά αστοχεί κατά 0.14. Η σύμπτωση e^π − π ≈ 19.999 είναι ακόμη πιο κοντινή αλλά εξίσου χωρίς γνωστή σημασία.
Το θεώρημα Γκέλφοντ-Σνάιντερ (1934) λέει: αν το a είναι αλγεβρικό, όχι 0 ή 1, και το b είναι αλγεβρικό και άρρητο, τότε το a^b είναι υπερβατικό. Η σταθερά του Γκέλφοντ e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Εδώ a = −1 (αλγεβρικός) και b = −i (αλγεβρικός και άρρητος). Το θεώρημα εφαρμόζεται άμεσα.
Πίνακας με παραδείγματα αριθμών που αποδείχθηκαν υπερβατικοί με το Γκέλφοντ-Σνάιντερ
| Έκφραση | a | b | Αποτέλεσμα |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | υπερβατικός |
| 2^√2 (πρόβλημα Χίλμπερτ) | 2 | √2 | υπερβατικός |
| √2^√2 | √2 | √2 | υπερβατικός |
Η αριθμητική σχεδόν-ισότητα e^π − π ≈ 19.9990999 δεν έχει γνωστή μαθηματική εξήγηση. Πιθανότατα είναι σύμπτωση, αλλά παρόμοιες συμπτώσεις (όπως η σταθερά του Ραμανουτζάν) μερικές φορές αποδεικνύονται βαθιές. Το e^π έχει υπολογιστεί σε εκατομμύρια δεκαδικά ψηφία: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί χωρίς αριθμομηχανή: η συνάρτηση x^(1/x) έχει μέγιστο στο x=e, άρα e^(1/e) > π^(1/π), που δίνει e^π > π^e.
Η σταθερά του Γκέλφοντ e^π ≈ 23.14069. Η απόδειξη ότι είναι υπερβατική ήταν το 7ο πρόβλημα του Χίλμπερτ (1900). Ο Γκέλφοντ το έλυσε το 1934: αν το a είναι αλγεβρικό (όχι 0 ή 1) και το b είναι αλγεβρικό και άρρητο, τότε το a^b είναι υπερβατικό. Εφόσον e^π = (-1)^(-i), και τα -1 και -i είναι αλγεβρικά ενώ το -i είναι άρρητο, το θεώρημα εφαρμόζεται. Η σχεδόν-σύμπτωση e^π - π ≈ 19.999 δεν έχει γνωστή μαθηματική εξήγηση.