Η αρμονική σειρά είναι το άθροισμα όλων των μοναδιαίων κλασμάτων. Κάθε όρος 1/n τείνει στο μηδέν, κάτι που μπορεί να υποδηλώνει ότι το άθροισμα συγκλίνει, αλλά δεν συμβαίνει αυτό. Η απόδειξη χρησιμοποιεί ομαδοποίηση: 1/3+1/4 > 1/2, έπειτα 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, και κάθε τέτοια ομάδα προσθέτει τουλάχιστον 1/2, οπότε το συνολικό άθροισμα ξεπερνά κάθε φράγμα. Παρ' όλα αυτά αποκλίνει με εξαιρετικά αργό ρυθμό: για να φτάσει ένα μερικό άθροισμα το 100 απαιτούνται περισσότεροι όροι από ό,τι άτομα στο παρατηρήσιμο σύμπαν.
Το H(n) και το ln(n) μεγαλώνουν μαζί, διαφέροντας πάντα περίπου κατά γ ≈ 0.5772. Και τα δύο αποκλίνουν: για να φτάσει το H(n) = 100 χρειάζονται περίπου 10^43 όροι.
Χρειάζονται περίπου 10^43 όροι γ ια να φτάσει το H(n)=100. Περισσότεροι από τα άτομα στο παρατηρήσιμο σύμπαν.
Η αρμονική σειρά 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... αποκλίνει, παρότι οι όροι της τείνουν στο 0. Η κλασική απόδειξη του Ορέμ ομαδοποιεί τους όρους σε μπλοκ που προσθέτουν κάθε φορά τουλάχιστον 1/2. Η ανάπτυξη είναι εξαιρετικά αργή: τα μερικά αθροίσματα ικανοποιούν H_n ≈ ln(n) + γ, όπου γ είναι η σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι. Για να ξεπεράσει το άθροισμα το 100 χρειάζονται περίπου 10^43 όροι. Η αρμονική σειρά βρίσκεται πίσω από τη συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν, την αναλυτική θεωρία αριθμών και πολλά αποτελέσματα στην ανάλυση.