Το άπειρο δεν είναι ένα μόνο πράγμα. Ο Γκέοργκ Κάντορ έδειξε το 1874 ότι ορισμένα άπειρα είναι πραγματικά μεγαλύτερα από άλλα. Οι ακέραιοι, τα κλάσματα και οι άρτιοι αριθμοί είναι όλα εξίσου άπειρα. Όμως οι πραγματικοί αριθμοί σχηματίζουν ένα αυστηρά μεγαλύτερο άπειρο, και καμία λίστα δεν μπορεί να τους περιλάβει όλους.
Οι φυσικοί αριθμοί, οι ακέραιοι και οι ρητοί είναι όλοι αριθμήσιμα άπειρα: μπορούν να τεθούν σε αντιστοιχία ένα προς ένα. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι μη αριθμήσιμα άπειροι: ένα αυστηρά μεγαλύτερο άπειρο. Ανάμεσα σε αυτά τα δύο μεγέθη, η Υπόθεση του Συνεχούς ρωτά αν υπάρχει κάτι ενδιάμεσο.
Ο Κάντορ απέδειξε το 1874 ότι δεν είναι όλα τα άπειρα ίσα. Οι φυσικοί αριθμοί, οι ακέραιοι και οι ρητοί είναι αριθμήσιμα άπειροι: μπορούν να απαριθμηθούν. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι μη αριθμήσιμα άπειροι: δεν υπάρχει πλήρης λίστα, όπως δείχνει το διαγώνιο επιχείρημα. Το θεώρημα του Κάντορ δείχνει ότι το σύνολο δυνάμεων οποιουδήποτε συνόλου έχει αυστηρά μεγαλύτερη πληθικότητα από το ίδιο το σύνολο, δημιουργώντας μια άπειρη ιεραρχία απείρων. Η Υπόθεση του Συνεχούς, ότι κανένα άπειρο δεν βρίσκεται ανάμεσα στους ακεραίους και στους πραγματικούς, αποδείχθηκε ανεξάρτητη από τη συνήθη θεωρία συνόλων.