Ένας αριθμός είναι άρρητος αν δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα p/q όπου p και q είναι ακέραιοι. Η δεκαδική του ανάπτυξη δεν τελειώνει ποτέ και δεν επαναλαμβάνεται ποτέ. Τα √2, π, e και φ είναι όλα άρρητα. Δεν είναι εξαιρέσεις ή παράξενα φαινόμενα: η συντριπτική πλειονότητα των πραγματικών αριθμών είναι άρρητοι.
Μπλε: ρητοί αριθμοί (ακριβή κλάσματα). Κόκκινο: άρρητοι αριθμοί (μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά). Ανάμεσα σε κάθε δύο ρητούς βρίσκεται ένας άρρητος, και αντίστροφα.
Συγκριτικός πίνακας ρητών αριθμών με επαναλαμβανόμενα ή πεπερασμένα δεκαδικά έναντι άρρητων αριθμών με μη επαναλαμβανόμενα και μη πεπερασμένα δεκαδικά
| ΡΗΤΟΣ: τερματίζει ή επαναλαμβάνεται | ΑΡΡΗΤΟΣ: δεν επαναλαμβάνεται ποτέ |
|---|---|
| 1/4 = 0.25000... | √2 = 1.4142135... |
| τερματίζει | κανένα μοτίβο, ποτέ |
| 1/3 = 0.3333... | π = 3.1415926... |
| επαναλαμβανόμενο μπλοκ: {3} | κανένα μοτίβο, ποτέ |
| 22/7 = 3.142857... | e = 2.7182818... |
| επαναλαμβανόμενο μπλοκ: {142857} | κανένα μοτίβο, ποτέ |
| 5/11 = 0.454545... | φ = 1.6180339... |
| επαναλαμβανόμενο μπλοκ: {45} | κανένα μοτίβο, ποτέ |
Οι ρητοί αριθμοί, παρότι είναι άπειροι, μπορούν να απαριθμηθούν (είναι αριθμήσιμοι). Οι άρρητοι δεν μπορούν. Αν διάλεγες έναν πραγματικό αριθμό τυχαία, η πιθανότητα να είναι ρητός είναι ακριβώς μηδέν.
Ένας αριθμός είναι άρρητος αν δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα p/q με ακέραιους p και q. Η δεκαδική του ανάπτυξη δεν τελειώνει ποτέ και δεν επαναλαμβάνεται ποτέ. Οι Πυθαγόρειοι απέδειξαν ότι το √2 είναι άρρητο γύρω στο 500 π.Χ., μια συγκλονιστική ανακάλυψη για την εποχή. Το π αποδείχθηκε άρρητο από τον Λάμπερτ το 1761 και το e από τον Όιλερ το 1737. Οι περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί είναι άρρητοι: οι ρητοί είναι αριθμήσιμα άπειροι αλλά οι άρρητοι μη αριθμήσιμοι, άρα μια τυχαία επιλογή πραγματικού αριθμού δίνει άρρητο με πιθανότητα 1. Οι αλγεβρικοί άρρητοι ικανοποιούν πολυωνυμικές εξισώσεις· οι υπερβατικοί όχι.