Κάθε πραγματικός αριθμός έχει βέλτιστες ρητές προσεγγίσεις: κλάσματα p/q που είναι πιο κοντά στο x από οποιοδήποτε κλάσμα με μικρότερο παρονομαστή. Οι παρονομαστές q₁, q₂, q₃, … μεγαλώνουν, αλλά με ποιον ρυθμό; Ο Πολ Λεβί απέδειξε το 1935 ότι για σχεδόν κάθε πραγματικό αριθμό, το qₙ^(1/n) συγκλίνει στο e^β ≈ 3.27582, όπου β = π²/(12 ln 2).
Για σχεδόν όλους τους πραγματικούς αριθμούς, το ln(qₙ) αυξάνεται γραμμικά με κλίση β ≈ 1.1865. Οι παρονομαστές των συγκλινόντων του π (1, 7, 106, 113, 33102…) μεγαλώνουν κατά μέσο όρο πιο γρήγορα λόγω του ασυνήθιστου μερικού πηλίκου 292.
Η χρυσή τομή φ = [1;1,1,1,…] έχει παρονομαστές Φιμπονάτσι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … που μεγαλώνουν με ρυθμό φ ≈ 1.618 ανά βήμα. Αυτό είναι πολύ πιο αργό από το e^β ≈ 3.276, γι’ αυτό και το φ είναι ο «πιο άρρητος» αριθμός: οι προσεγγίσεις του βελτιώνονται όσο πιο αργά γίνεται. Οι περισσότεροι αριθμοί έχουν παρονομαστές που μεγαλώνουν πολύ γρηγορότερα, με ρυθμό e^β.
Σύγκριση ρυθμών ανάπτυξης των παρονομαστών των συγκλινόντων για τη χρυσή τομή και για έναν τυπικό αριθμό
| φ = [1;1,1,1,…] | Τυπικός αριθμός |
|---|---|
| το qₙ μεγαλώνει ως φⁿ ≈ 1.618ⁿ | το qₙ μεγαλώνει ως (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ |
| Η πιο αργή δυνατή αύξηση | Θεώρημα του Λεβί |
Η τιμή β = π²/(12 ln 2) προκύπτει από την ολοκλήρωση της κατανομής Γκάους-Κούζμιν. Το ln 2 προέρχεται από τη δουλειά στη βάση 2 (δυαδικό σύστημα), ενώ το π² προκύπτει από τις ίδιες πηγές με τη σχέση ζ(2) = π²/6. Η σταθερά του Λεβί είναι 1.1865691104156254… και το e^β = 3.275822918721811159787681882…
Το μερικό πηλίκο 292 στο βήμα 5 κάνει τους παρονομαστές του π να μεγαλώνουν πολύ πιο γρήγορα από τον μέσο όρο. Για έναν «τυπικό» αριθμό, ο λόγος ln(qₙ)/n → β ≈ 1.187.
| n | Μερικό πηλίκο aₙ | Συγκλίνον pₙ/qₙ | Παρονομαστής qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0.00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0.97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1.55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1.19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2.52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1.74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1.54 |
Η σταθερά του Λεβί β = π^2/(12 ln 2) ≈ 1.18657. Για σχεδόν κάθε πραγματικό αριθμό, ο παρονομαστής qn του n-οστού συγκλίνοντος ικανοποιεί ότι το qn^(1/n) τείνει στο e^β ≈ 3.27582. Αποδείχθηκε από τον Πολ Λεβί το 1935. Η χρυσή τομή, με παρονομαστές Φιμπονάτσι που μεγαλώνουν με ρυθμό φ ≈ 1.618, βρίσκεται πολύ κάτω από τον μέσο όρο, επιβεβαιώνοντας ότι είναι ο δυσκολότερος αριθμός να προσεγγιστεί. Ο τύπος συνδυάζει το π και το ln 2, συνδέοντας τη γεωμετρία του κύκλου με τους λογαρίθμους μέσω της κατανομής Γκάους-Κούζμιν.