Άθροισε τους αντιστρόφους όλων των πρώτων μέχρι το n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Αυτό μεγαλώνει, αλλά εξαιρετικά αργά: σαν ln(ln(n)). Η σταθερά Μάιζελ-Μέρτενς M είναι το ακριβές χάσμα ανάμεσα σε αυτό το άθροισμα και στον κυρίαρχο όρο του, όπως ακριβώς η σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι γ είναι το χάσμα ανάμεσα στην αρμονική σειρά και το ln(n).
Ο Όιλερ απέδειξε το 1737 ότι το άθροισμα όλων των αντιστρόφων των πρώτων αποκλίνει. Αυτό είναι πολύ δυσκολότερο από το να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι, και δίνει μια ποσοτική αίσθηση για το πόσο πυκνοί είναι οι πρώτοι. Το θεώρημα του Μέρτενς λέει έπειτα ότι Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), δίνοντας τη M ως τον ακριβή σταθερό όρο.
Σύγκριση δίπλα δίπλα της σταθεράς Όιλερ-Μασκερόνι και της σταθεράς Μάιζελ-Μέρτενς
| Όιλερ-Μασκερόνι γ | Μάιζελ-Μέρτενς M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| Όλοι οι ακέραιοι | Μόνο πρώτοι |
Η M και η γ συνδέονται με τη σχέση M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Το αν κάποια από τις δύο είναι άρρητη είναι άγνωστο. Και οι δύο έχουν υπολογιστεί σε δισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία και θεωρούνται πιθανότατα υπερβατικές, αλλά δεν υπάρχει απόδειξη για καμία. M: 0.261497212847642783755426838608669…
Αρμονική σειρά (μπλε): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων (μεγαλώνει σαν ln(ln(n))+M): μόνο 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 στα ίδια σημεία.
Η σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι γ μετρά το χάσμα ανάμεσα στην αρμονική σειρά (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) και το ln(n). Η σταθερά Μάιζελ-Μέρτενς M παίζει τον ίδιο ρόλο για το άθροισμα των αντιστρόφων των πρώτων (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) σε σχέση με το ln(ln(n)). Και οι δύο είναι οι σταθερές «διόρθωσης σφάλματος» για αποκλίνουσες σειρές που μεγαλώνουν λογαριθμικά.
Η σταθερά Μάιζελ-Μέρτενς M ≈ 0.26149 παίζει για τους αντίστροφους των πρώτων τον ίδιο ρόλο που παίζει η σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι για την αρμονική σειρά. Ο Μέρτενς απέδειξε το 1874 ότι 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + μικρό σφάλμα. Το αν η M είναι άρρητη είναι άγνωστο. Εμφανίζεται στο θεώρημα του Μέρτενς για γινόμενα πρώτων και στην πυκνότητα των λείων αριθμών. Η M και η γ συνδέονται με ένα συγκεκριμένο άθροισμα πάνω από όλους τους πρώτους.