Η αρθρωτή αριθμητική εργάζεται με υπόλοιπα. Αν διαιρέσεις το 17 με το 12, μένει υπόλοιπο 5, οπότε γράφουμε 17 ≡ 5 (mod 12). Σε έναν κύκλο mod 12, το 17 και το 5 είναι το ίδιο σημείο. Αυτό κάνει τα ακέραια να συμπεριφέρονται σαν ρολόι: μετά το 11 ξαναγυρίζεις στο 0. Η ιδέα γενικεύεται σε οποιοδήποτε υπόλοιπο n και είναι μία από τις κεντρικές γλώσσες της θεωρίας αριθμών.
Κάθε γραμμή και στήλη περιέχει τα {0,1,2,3,4} ακριβώς μία φορά. Τα πέντε στοιχεία σχηματίζουν κλειστή ομάδα ως προς την πρόσθεση mod 5. Κόκκινο: αθροίσματα που κάνουν ανακύκλωση (≥5).
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Η αρθρωτή αριθμητική μειώνει τους ακέραιους στα υπόλοιπά τους ως προς ένα σταθερό υπόλοιπο n. Γράφουμε a ≡ b (mod n) όταν το a−b διαιρείται από το n. Η πρόσθεση, η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός λειτουργούν με φυσικό τρόπο σε αυτές τις κλάσεις υπολοίπων. Βρίσκεται πίσω από όλη τη σύγχρονη κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού: η κρυπτογράφηση RSA βασίζεται στο μικρό θεώρημα του Φερμά, το οποίο λέει ότι a^(p-1) είναι σύμφωνο με 1 mod p για κάθε πρώτο p που δεν διαιρεί το a. Οι συναρτήσεις κατακερματισμού χρησιμοποιούν πράξεις mod για να αντιστοιχούν μεγάλα δεδομένα σε εξόδους σταθερού μεγέθους. Οι ακέραιοι mod n σχηματίζουν πλήρη δακτύλιο και, όταν το n είναι πρώτος, ένα πεπερασμένο σώμα.