Τα μαθηματικά έχουν χτίσει πέντε βασικά συστήματα αριθμών, καθένα από τα οποία αποτελεί επέκταση του προηγούμενου. Κάθε επέκταση παρακινήθηκε από μια εξίσωση χωρίς λύση: το «τι είναι 3-5;» οδήγησε στους ακεραίους· το «τι είναι 1/3;» οδήγησε στους ρητούς· το «τι είναι √2;» οδήγησε στους πραγματικούς· το «τι είναι √(-1);» οδήγησε στους μιγαδικούς.
Πίνακας που δείχνει ιδιότητες που κερδίζονται και χάνονται όταν επεκτείνουμε τα συστήματα αριθμών
| ΣΥΣΤΗΜΑ | ΤΙ ΚΕΡΔΙΖΕΙΣ | ΤΙ ΧΑΝΕΤΑΙ/ΑΛΛΑΖΕΙ |
|---|---|---|
| N (φυσικοί) | μέτρηση, +, × | χωρίς αφαίρεση |
| Z (ακέραιοι) | αφαίρεση, αρνητικοί | χωρίς διαίρεση |
| Q (ρητοί) | διαίρεση, κλάσματα | χωρίς √2 |
| R (πραγματικοί) | όλα τα όρια, √2, π | χωρίς √(-1) |
| C (μιγαδικοί) | όλες οι ρίζες πολυωνύμων | αλγεβρικά κλειστό |
| H (τετραδόνια) | 3D περιστροφές | ab ≠ ba |
| Κάθε επέκταση είναι πραγματική διεύρυνση, όχι απλή μετονομασία |
Μπλε: φυσικοί αριθμοί ℕ. Πράσινο προσθέτει το 0. Μωβ επεκτείνεται στους αρνητικούς ακεραίους ℤ. Πορτοκαλί προσθέτει τα κλάσματα ℚ. Κόκκινο: οι άρρητοι γεμίζουν το υπόλοιπο του ℝ.
Τα μαθηματικά έχουν πέντε βασικά συστήματα αριθμών: φυσικούς αριθμούς N (μέτρηση, χωρίς αφαίρεση), ακεραίους Z (προσθέτουν αφαίρεση και αρνητικούς), ρητούς Q (προσθέτουν διαίρεση), πραγματικούς R (προσθέτουν όρια και άρρητους), μιγαδικούς C (προσθέτουν το √(-1)). Κάθε επέκταση έλυσε μια εξίσωση άλυτη στο προηγούμενο σύστημα. Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι αλγεβρικά κλειστοί: κάθε πολυωνυμική εξίσωση έχει λύση μέσα στο C. Η ένταξη είναι αυστηρή: N μέσα στο Z μέσα στο Q μέσα στο R μέσα στο C, με τους υπερβατικούς να γεμίζουν τον εξωτερικό δακτύλιο του R.