το άθροισμα ΟΛΩΝ των διαιρετών (συμπεριλαμβανομένου του n) ισούται με το διπλάσιο του αριθμού
Ένας τέλειος αριθμός ισούται με το άθροισμα όλων των γνήσιων διαιρετών του (κάθε διαιρέτης εκτός από τον ίδιο). 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. Είναι εξαιρετικά σπάνιοι: μόνο 51 είναι γνωστοί, όλοι άρτιοι, και μεγαλώνουν αστρονομικά γρήγορα. Το αν υπάρχει έστω και ένας περιττός τέλειος αριθμός παραμένει ένα από τα αρχαιότερα ανοικτά προβλήματα στα μαθηματικά.
Οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί: πορτρέτα διαιρετών
το n είναι άρτιος τέλειος ⟺ n = 2^(p−1) · (2^p − 1)
όπου το 2^p − 1 είναι πρώτος του Μερσέν
Ο Ευκλείδης απέδειξε την κατεύθυνση →. Ο Όιλερ απέδειξε την ←. Και οι 51 γνωστοί τέλειοι αριθμοί είναι άρτιοι και προκύπτουν από αυτόν τον τύπο. Το αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί παραμένει άγνωστο.
Τέλειοι αριθμοί σε λογαριθμική κλίμακα: μεγαλώνουν ταχύτερα από εκθετικά
Οι τιμές δίνονται ως log10. Ακόμη και σε λογαριθμική κλίμακα, κάθε άλμα είναι δραματικά μεγαλύτερο. Ο 51ος τέλειος αριθμός έχει πάνω από 49 εκατομμύρια ψηφία.
Ένας τέλειος αριθμός ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Ο Ευκλείδης έδειξε ότι ο αριθμός 2^(p-1)*(2^p-1) είναι τέλειος όποτε το 2^p-1 είναι πρώτος. Ο Όιλερ απέδειξε και το αντίστροφο: κάθε άρτιος τέλειος αριθμός έχει αυτή τη μορφή. Το αν υπάρχει περιττός τέλειος αριθμός είναι ένα από τα αρχαιότερα άλυτα προβλήματα· δεν έχει βρεθεί κανένας. Μόνο 51 τέλειοι αριθμοί είναι γνωστοί, όλοι άρτιοι, και αντιστοιχούν στους 51 γνωστούς πρώτους Μερσέν.