Το φ (φι) είναι η θετική λύση της εξίσωσης x² = x + 1. Αυτή η εξίσωση έχει γεωμετρική σημασία: αν διαιρέσεις ένα ευθύγραμμο τμήμα έτσι ώστε ο λόγος του όλου προς το μεγαλύτερο μέρος να ισούται με τον λόγο του μεγαλύτερου μέρους προς το μικρότερο, αυτός ο λόγος είναι το φ. Κανένας άλλος αριθμός δεν έχει αυτή την αυτοόμοια ιδιότητα.
Πίνακας λόγων Φιμπονάτσι που συγκλίνουν στο φι
| Ζεύγος Fib | λόγος | απόσταση από το φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
Η χρυσή τομή εμφανίζεται στο κανονικό πεντάγωνο και στο πεντάγραμμο, όπου οι διαγώνιοι τέμνονται μεταξύ τους στη χρυσή τομή. Κάθε αριθμός Φιμπονάτσι διαιρεμένος με τον προηγούμενο πλησιάζει το φ. Το συνεχές κλάσμα [1; 1, 1, 1, …] είναι το απλούστερο άπειρο συνεχές κλάσμα: όλα 1. Αυτό κάνει το φ τον δυσκολότερο αριθμό να προσεγγιστεί με κλάσματα, χαρίζοντάς του τον τίτλο "ο πιο άρρητος αριθμός".
Αφαίρεσε ένα τετράγωνο από ένα χρυσό ορθογώνιο. Το υπόλοιπο είναι άλλο ένα χρυσό ορθογώνιο, μικρότερο κατά παράγοντα 1/φ. Επανάλαβε επ' άπειρον. Το τόξο ιχνογραφεί τη χρυσή σπείρα που βλέπουμε σε όστρακα και γαλαξίες.
Το φ ικανοποιεί την εξίσωση φ² = φ + 1, άρα φ = 1 + 1/φ. Αντικαθιστώντας επανειλημμένα: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Αυτό το άπειρο συνεχές κλάσμα μόνο με 1 είναι ταυτόχρονα ο ορισμός του και ο λόγος για το "πιο άρρητο" καθεστώς του. Υπολογισμένο με πλήρη ακρίβεια: 1.61803398874989484820…
Σε κανονικό πεντάγωνο με πλευρά 1, κάθε διαγώνιος έχει μήκος φ ≈ 1.618. Οι διαγώνιοι επίσης τέμνονται μεταξύ τους στη χρυσή τομή. Σχεδίασε και τις πέντε διαγωνίους και παίρνεις ένα πεντάγραμμο: και αυτό γεμάτο χρυσές αναλογίες.
Η χρυσή τομή φι είναι περίπου 1.61803398874989484820. Είναι η θετική λύση της εξίσωσης x² = x + 1. Το φι είναι άρρητο, αλγεβρικό και ο οριακός λόγος διαδοχικών αριθμών Φιμπονάτσι. Εμφανίζεται στο κανονικό πεντάγωνο και στο εικοσάεδρο, στις σπείρες των σπόρων του ηλιοτροπίου και σε αναλογίες που μελετώνται από την αρχαία Ελλάδα. Το συνεχές κλάσμα [1; 1, 1, 1, ...] το κάνει τον δυσκολότερο πραγματικό αριθμό να προσεγγιστεί με κλάσματα, γι' αυτό και η φυλλοταξία χρησιμοποιεί τη χρυσή γωνία που προκύπτει από το φι.
Χρυσή Τομή φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the τετραγωνικός τύπος.