Γράφουμε π(n) για τον αριθμό των πρώτων μέχρι το n. Το Θεώρημα Πρώτων Αριθμών λέει ότι το π(n) μεγαλώνει όπως το n/ln(n). Καθώς το n γίνεται μεγαλύτερο, περίπου 1 σε κάθε ln(n) αριθμούς κοντά στο n είναι πρώτος. Κοντά στο ένα εκατομμύριο, περίπου 1 στους 14 αριθμούς είναι πρώτος. Κοντά στο ένα δισεκατομμύριο, 1 στους 21.
Το π(n) μετρά τους πρώτους μέχρι το n (μπλε σκάλα). Το Θεώρημα Πρώτων Αριθμών λέει ότι π(n) ~ n/ln(n) – ο λόγος → 1 όταν n → ∞. Το λογαριθμικό ολοκλήρωμα Li(n) είναι ακόμη πιο κοντά.
Ο Γκάους υπέθεσε το αποτέλεσμα γύρω στο 1800, αφού μελέτησε πίνακες πρώτων. Αποδείχθηκε ανεξάρτητα το 1896 από τους Ζακ Αδαμάρ και Σαρλ-Ζαν ντε λα Βαλέ Πουσέν, και οι δύο χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν και μιγαδική ανάλυση. Μια καθαρά στοιχειώδης απόδειξη (χωρίς μιγαδική ανάλυση) βρέθηκε ανεξάρτητα από τους Σέλμπεργκ και Έρντες το 1948.
Πίνακας που δείχνει την πυκνότητα των πρώτων σε διάφορες κλίμακες
| Έως το n | Πρώτοι π(n) | Πυκνότητα ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 στα 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 στα 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 στα 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 στα 28 |
Η Υπόθεση του Ρίμαν θα έδινε το οξύτερο φράγμα στο σφάλμα: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). Χωρίς αυτήν, γνωρίζουμε μόνο ότι το σφάλμα είναι o(n/ln(n)). Γι’ αυτό η Υπόθεση του Ρίμαν είναι το σημαντικότερο ανοικτό πρόβλημα στα μαθηματικά: θα μας έλεγε ακριβώς πόσο προβλέψιμα είναι τα κενά ανάμεσα στους πρώτους.
Μια ακριβέστερη προσέγγιση του π(n) από το n/ln(n) είναι το λογαριθμικό ολοκλήρωμα Li(n) = ολοκλήρωμα από το 2 έως το n του dt/ln(t). Ο Γκάους προτιμούσε αυτή τη μορφή. Για n = 1.000.000: το n/ln(n) δίνει 72.382 ενώ το Li(n) δίνει 78.628, έναντι του ακριβούς πλήθους 78.498. Το σφάλμα του Li(n) είναι πολύ μικρότερο. Η Υπόθεση του Ρίμαν θα περιόριζε αυτό το σφάλμα ακριβώς με το sqrt(n) * ln(n).