Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας (της πλευράς απέναντι από την ορθή γωνία) ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών. Αν οι κάθετες πλευρές είναι a και b, και η υποτείνουσα είναι c, τότε a² + b² = c². Ένα τρίγωνο 3-4-5 ικανοποιεί τη σχέση 9 + 16 = 25.
a² + b² = c². Για το τρίγωνο 3-4-5: 9 + 16 = 25. Τα μπλε και κόκκινα τετράγωνα μαζί έχουν ίσο εμβαδό με το πράσινο τετράγωνο.
Βαβυλωνιακές πήλινες πινακίδες από το 1900 π.Χ. καταγράφουν πυθαγόρειες τριάδες όπως (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), δείχνοντας ότι το αποτέλεσμα ήταν γνωστό εμπειρικά πολύ πριν από τον Πυθαγόρα. Η σχολή του (περί το 570 π.Χ.) έδωσε την πρώτη απόδειξη. Σήμερα είναι γνωστές πάνω από 370 διαφορετικές αποδείξεις, συμπεριλαμβανομένων αλγεβρικών, γεωμετρικών, τριγωνομετρικών και μίας που δημοσίευσε ο πρόεδρος των ΗΠΑ Τζέιμς Γκάρφιλντ το 1876.
Πίνακας πυθαγόρειων τριάδων
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
Σε n διαστάσεις, η απόσταση από την αρχή στο σημείο (x₁, x₂, …, xₙ) είναι √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²). Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά (που αποδείχθηκε από τον Άντριου Γουάιλς το 1995, μετά από 358 χρόνια) δείχνει ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις της εξίσωσης aⁿ + bⁿ = cⁿ για n μεγαλύτερο του 2. Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι η περίπτωση n=2, με άπειρες ακέραιες λύσεις.
Και τα δύο μεγάλα τετράγωνα είναι (a+b)×(a+b). Και τα δύο περιέχουν τέσσερα ίδια ορθογώνια τρίγωνα. Αυτό που μένει στο αριστερό τετράγωνο είναι c². Αυτό που μένει στο δεξί είναι a²+b². Άρα πρέπει να είναι ίσα.
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο: a^2 + b^2 = c^2. Γνωστό εμπειρικά στους Βαβυλωνίους από το 1800 π.Χ., ενώ η πρώτη απόδειξη δόθηκε από τους Πυθαγόρειους γύρω στο 570 π.Χ. Υπάρχουν πάνω από 370 διαφορετικές αποδείξεις, συμπεριλαμβανομένης μίας του προέδρου των ΗΠΑ Τζέιμς Γκάρφιλντ το 1876. Οι ακέραιες λύσεις είναι οι πυθαγόρειες τριάδες: όλες παράγονται από το (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2). Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά (Γουάιλς, 1995) δείχνει ότι δεν υπάρχουν ανάλογες ακέραιες λύσεις για εκθέτες μεγαλύτερους του 2. Το θεώρημα επεκτείνεται σε n διαστάσεις ως ο ευκλείδειος τύπος απόστασης.