Η συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν είναι η ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯. Ο Όιλερ μελέτησε την πραγματική εκδοχή και βρήκε ότι ζ(2) = π²/6 (το πρόβλημα της Βασιλείας) καθώς και τον γινομενικό τύπο ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) πάνω σε όλους τους πρώτους αριθμούς. Ο Ρίμαν επέκτεινε τη συνάρτηση στους μιγαδικούς αριθμούς στην ιστορική εργασία του του 1859.
Πίνακας τιμών της συνάρτησης ζήτα σε άρτιους ακεραίους
| s | ζ(s) | ακριβής μορφή |
|---|---|---|
| 2 | 1.64493… | π²/6 |
| 3 | 1.20206… | άγνωστο (Απερύ) |
| 4 | 1.08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1.01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | τετριμμένα μηδενικά |
Η βασική διορατικότητα του Ρίμαν: επεκτείνοντας τη ζ(s) σε μιγαδικά s, τα μη τετριμμένα μηδενικά (όπου ζ(s) = 0 με 0 < Re(s) < 1) ελέγχουν την κατανομή των πρώτων αριθμών. Κάθε μηδενικό προσθέτει μια ταλάντωση στη συνάρτηση καταμέτρησης των πρώτων. Ο Ρίμαν υπέθεσε το 1859 ότι όλα τα μη τετριμμένα μηδενικά βρίσκονται στην ευθεία Re(s) = 1/2. Αυτή είναι η Υπόθεση Ρίμαν.
Πάνω από 10 τρισεκατομμύρια μη τετριμμένα μηδενικά έχουν επαληθευτεί ότι βρίσκονται στη Re(s) = 1/2. Δεν έχει βρεθεί ποτέ κανένα αντιπαράδειγμα. Το Ινστιτούτο Μαθηματικών Κλέι προσφέρει 1 εκατομμύριο δολάρια για μια απόδειξη (ή διάψευση). Μια απόδειξη θα έδινε το οξύτερο δυνατό όριο στο σφάλμα της κατανομής των πρώτων. Η Υπόθεση Ρίμαν παραμένει αναπόδεικτη εδώ και 165 χρόνια.
Η συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν ικανοποιεί μια συμμετρία: ζ(s) = 2^s · π^(s-1) · sin(πs/2) · Γ(1-s) · ζ(1-s). Αυτό επεκτείνει τη ζήτα σε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς s (εκτός από το s = 1) και συνδέει την τιμή στο s με την τιμή στο 1-s. Δείχνει ότι τα μη τετριμμένα μηδενικά έρχονται σε ζεύγη: αν το s είναι μηδενικό, τότε και το 1-s είναι. Τα τετριμμένα μηδενικά στα s = -2, -4, -6, ... προκύπτουν από τον παράγοντα sin(π*s/2).
Η συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν είναι ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Ο Όιλερ την υπολόγισε σε άρτιους ακεραίους: ζ(2) = π^2/6, ζ(4) = π^4/90. Ο Ρίμαν την επέκτεινε σε μιγαδικά s το 1859 και υπέθεσε ότι όλα τα μη τετριμμένα μηδενικά βρίσκονται στη Re(s) = 1/2. Αυτή η Υπόθεση Ρίμαν παραμένει αναπόδεικτη έπειτα από 165 χρόνια και είναι ένα από τα προβλήματα χιλιετίας του Κλέι, με έπαθλο 1 εκατομμύριο δολάρια. Πάνω από 10 τρισεκατομμύρια μηδενικά έχουν επαληθευτεί πάνω στην κρίσιμη ευθεία. Τα μηδενικά ελέγχουν την κατανομή των πρώτων αριθμών: κάθε μηδενικό συμβάλλει μια ταλάντωση στη συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων.