Η προσέγγιση του Στέρλινγκ λέει ότι για μεγάλα n, έχουμε n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Η εμφάνιση τόσο του π όσο και του e σε έναν τύπο για την καταμέτρηση μεταθέσεων είναι εντυπωσιακή. Για n = 10 το σφάλμα είναι κάτω από 1%. Για n = 100 είναι κάτω από 0.1%. Ο τύπος γίνεται ολοένα ακριβέστερος όσο μεγαλώνει το n.
Το σχετικό σφάλμα |n! − Στέρλινγκ(n)| / n! πέφτει κάτω από 1% στο n = 8 και κάτω από 0.1% στο n = 80. Για μεγάλα n, ο Στέρλινγκ είναι ουσιαστικά ακριβής.
Ο Αβραάμ ντε Μουάβρ βρήκε το 1730 ότι n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ για κάποια σταθερά C. Ο Τζέιμς Στέρλινγκ ταυτοποίησε την ίδια χρονιά ότι C = √(2π). Το √(2π) προκύπτει από το γκαουσιανό ολοκλήρωμα: όταν παραγάγεις τον Στέρλινγκ μέσω της συνάρτησης Γάμμα, εμφανίζεται το ολοκλήρωμα ∫e^(-t²)dt = √π, μεταφέροντας το π μέσα στον τύπο.
Η λογαριθμική μορφή χρησιμοποιείται παντού στη φυσική: στη στατιστική μηχανική, ο τύπος εντροπίας του Μπόλτσμαν S = k·ln(W) απαιτεί το ln(N!) για τεράστια N (γραμμομόρια σωματιδίων). Ο Στέρλινγκ δίνει ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, καθιστώντας τον υπολογισμό εφικτό. Η πλήρης ασυμπτωτική σειρά προσθέτει διορθώσεις: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
Σε λογαριθμική κλίμακα, το n! και η προσέγγιση του Στέρλινγκ είναι οπτικά ταυτόσημα. Το σχετικό σφάλμα τείνει στο 0 καθώς το n αυξάνεται.